Os dados abaixo representam as vendas semanais, em classes de salários mínimos, de vendedores de gêneros alimentícios:
Vendas semanais \mathrm{N}^{\mathrm{O}} de vendedores
30 \vdash 35 2
35 \vdash 40 10
40 \vdash 45 18
45 \vdash 50 50
50 \vdash 55 70
55 \vdash 60 30
60 \vdash 65 18
65 \vdash 70 2
(a) Faça o histograma dos dados.
(b) Determine a média amostral.
(c) Prove que \sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{k} n_{i} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}, em que k é o número de classes e n_{i} é a frequência simples da classe i.
(d) Utilize a informação da parte (c) para determinar o desvio-padrão amostral ( s ).
(e) Qual a porcentagem das observações compreendidas entre \bar{x}-2 s e \bar{x}+2 s ?
(f) Determine e interprete a mediana.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de classes de vendas semanais (em salários mínimos) e as respectivas frequências. As perguntas são:
(a) Fazer o histograma dos dados.
(b) Determinar a média amostral.
(c) Provar a identidade \displaystyle \sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{k} n_{i} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}, em que k é o número de classes e n_{i} é a frequência simples da classe i.
(d) Usar (c) para determinar o desvio-padrão amostral s.
(e) Calcular a porcentagem de observações entre \bar{x}-2s e \bar{x}+2s.
(f) Determinar e interpretar a mediana.
Informações dadas (peguei todos os números da tabela do enunciado):
  • Classes e frequências n_i:
    • 30\vdash35:\; n_1=2
    • 35\vdash40:\; n_2=10
    • 40\vdash45:\; n_3=18
    • 45\vdash50:\; n_4=50
    • 50\vdash55:\; n_5=70
    • 55\vdash60:\; n_6=30
    • 60\vdash65:\; n_7=18
    • 65\vdash70:\; n_8=2
Vou trabalhar com os pontos médios de cada classe (prática usual para dados agrupados). Os pontos médios x_i são:
x_1=32{,}5,\; x_2=37{,}5,\; x_3=42{,}5,\; x_4=47{,}5,\; x_5=52{,}5,\; x_6=57{,}5,\; x_7=62{,}5,\; x_8=67{,}5.
O total de observações é
n=\sum_{i=1}^{8} n_i = 200.

Passo 2

(a) Como construir o histograma (passo a passo didático):
  • Cada classe tem largura h=5 (por exemplo, 30 até 35 tem amplitude 5).
  • Para histogramas com classes de mesma largura é usual usar a altura igual à frequência absoluta (ou então à densidade relativa se as larguras fossem desiguais). Aqui as larguras são iguais, então basta desenhar retângulos com base nas classes e alturas iguais às frequências.
  • Dados para desenhar (classe \to altura = frequência):
    • [30,35)\\ \to\\\ 2
    • [35,40)\\ \to\\\ 10
    • [40,45)\\ \to\\\ 18
    • [45,50)\\ \to\\\ 50
    • [50,55)\\ \to\\\ 70
    • [55,60)\\ \to\\\ 30
    • [60,65)\\ \to\\\ 18
    • [65,70)\\ \to\\\ 2
  • Instrução prática para desenhar: no eixo horizontal colocar os intervalos de 30 a 70 com marcas a cada 5; no eixo vertical colocar frequência de 0 até pelo menos 70; desenhar retângulos cujas bases são os intervalos e cujas alturas são as frequências listadas acima.
  • Observação interpretativa rápida: o histograma será simétrico em torno de aproximadamente 50 52{,}5 com pico na classe 50\vdash55 (frequência 70).

Passo 3

(b) Calcular a média amostral \bar{x}.
Fórmula e ideia: para dados agrupados usamos a média aproximada pelos pontos médios:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i,
onde n é o total de observações, n_i é a frequência da classe i e x_i é o ponto médio da classe i.
Cálculo dos produtos n_i x_i (vou mostrar as contas):
\begin{aligned} n_1 x_1 &= 2\cdot 32{,}5 = 65,\\\ n_2 x_2 &= 10\cdot 37{,}5 = 375,\\\ n_3 x_3 &= 18\cdot 42{,}5 = 765,\\\ n_4 x_4 &= 50\cdot 47{,}5 = 2375,\\\ n_5 x_5 &= 70\cdot 52{,}5 = 3675,\\\ n_6 x_6 &= 30\cdot 57{,}5 = 1725,\\\ n_7 x_7 &= 18\cdot 62{,}5 = 1125,\\\ n_8 x_8 &= 2\cdot 67{,}5 = 135. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{8} n_i x_i = 10240.
Como n=200, temos
\bar{x}=\frac{10240}{200}=51{,}2.
Interpretação: a média das vendas semanais (em salários mínimos) estimada pelos dados agrupados é \bar{x}=51{,}2.

Passo 4

(c) Provar a identidade
\sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{k} n_{i} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}.
Prova algébrica (passo a passo, nada misterioso):
Partimos do lado esquerdo e expandimos o quadrado:
\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2).
Usamos a linearidade da soma:
= \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i + \bar{x}^2\sum_{i=1}^{k} n_i.
Agora reconhecemos que \sum_{i=1}^{k} n_i x_i = n\bar{x} (definição da média) e \sum_{i=1}^{k} n_i = n. Substituindo:
= \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 - 2\bar{x}(n\bar{x}) + \bar{x}^2 n = \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 - 2n\bar{x}^2 + n\bar{x}^2.
Finalmente,
\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 - n\bar{x}^2,
que era o que queríamos demonstrar.
Comentário didático: essa identidade é útil porque às vezes é mais fácil calcular \sum n_i x_i^2 e \bar{x} do que computar todos os desvios individuais x_i-\bar{x}.

Passo 5

(d) Calcular o desvio-padrão amostral s usando (c).
Primeiro calculamos \sum_{i=1}^{8} n_i x_i^2. Vou mostrar x_i^2 e os produtos n_i x_i^2:
\begin{aligned} x_1^2 &= 32{,}5^2 = 1056{,}25,\quad &n_1 x_1^2 &= 2\cdot 1056{,}25 = 2112{,}5,\\\ x_2^2 &= 37{,}5^2 = 1406{,}25,\quad &n_2 x_2^2 &= 10\cdot 1406{,}25 = 14062{,}5,\\\ x_3^2 &= 42{,}5^2 = 1806{,}25,\quad &n_3 x_3^2 &= 18\cdot 1806{,}25 = 32512{,}5,\\\ x_4^2 &= 47{,}5^2 = 2256{,}25,\quad &n_4 x_4^2 &= 50\cdot 2256{,}25 = 112812{,}5,\\\ x_5^2 &= 52{,}5^2 = 2756{,}25,\quad &n_5 x_5^2 &= 70\cdot 2756{,}25 = 192937{,}5,\\\ x_6^2 &= 57{,}5^2 = 3306{,}25,\quad &n_6 x_6^2 &= 30\cdot 3306{,}25 = 99187{,}5,\\\ x_7^2 &= 62{,}5^2 = 3906{,}25,\quad &n_7 x_7^2 &= 18\cdot 3906{,}25 = 70312{,}5,\\\ x_8^2 &= 67{,}5^2 = 4556{,}25,\quad &n_8 x_8^2 &= 2\cdot 4556{,}25 = 9112{,}5. \end{aligned}
Somando todos os n_i x_i^2:
\sum_{i=1}^{8} n_i x_i^2 = 533050.
Usando a identidade provada no passo anterior:
\sum_{i=1}^{8} n_i (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{8} n_i x_i^2 - n\bar{x}^2.
Já calculamos \sum n_i x_i^2 = 533050, n=200 e \bar{x}=51{,}2. Então
n\bar{x}^2 = 200 \cdot 51{,}2^2 = 200\cdot 2621{,}44 = 524288.
Portanto
\sum_{i=1}^{8} n_i (x_i-\bar{x})^2 = 533050 - 524288 = 8762.
Para o desvio-padrão amostral usamos a definição (amostral, com denominador n-1):
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i-\bar{x})^2 }.
Substituindo:
s = \sqrt{\frac{8762}{199}} \approx \sqrt{44{,}03015075}\approx 6{,}64.
Mais precisamente s \approx 6{,}636 (arredondando, s\approx 6{,}64 salários mínimos).
Explicação rápida: usamos n-1 porque estamos usando a estimativa amostral do desvio; esse é o estimador clássico não-viesado para variância amostral em muitos contextos.

Passo 6

(e) Porcentagem das observações entre \bar{x}-2s e \bar{x}+2s.
Primeiro calculamos os limites numéricos:
2s \approx 2\cdot 6{,}636 \approx 13{,}271,
\bar{x}-2s \approx 51{,}2 - 13{,}271 \approx 37{,}929,
\bar{x}+2s \approx 51{,}2 + 13{,}271 \approx 64{,}471.
Agora vamos estimar quantas observações caem nesse intervalo. Como os dados estão agrupados por classes, uso a suposição usual de distribuição uniforme dentro de cada classe para tratar classes que são parcialmente cortadas pelos limites. Procedimento e conta:
  • Classe [35,40) com n_2=10: apenas a parte de 37{,}929 até 40 está dentro. Comprimento incluído =40-37{,}929=2{,}071. Fração da classe incluída =2{,}071/5=0{,}4142. Pessoas incluídas \approx 10\cdot 0{,}4142 = 4{,}142.
  • Classes totalmente incluídas: [40,45),[45,50),[50,55),[55,60)\\ com frequências \(18,50,70,30 respectivamente — todas completamente dentro do intervalo.
  • Classe [60,65) com n_7=18: apenas a parte de 60 até 64{,}471 está dentro. Comprimento incluído =64{,}471-60=4{,}471. Fração incluída =4{,}471/5=0{,}8942. Pessoas incluídas \approx 18\cdot 0{,}8942 = 16{,}096.
  • As demais classes estão fora do intervalo.
Somando as contribuições:
\text{incluídas} \approx 4{,}142 + 18 + 50 + 70 + 30 + 16{,}096 = 188{,}238.í
Porcentagem:
\frac{188{,}238}{200}\times 100\% \approx 94{,}12\%.
Interpretação: cerca de 94{,}1\% das observações estão a menos de dois desvios-padrão amostrais da média. (Compare isso com a regra empírica para distribuições aproximadamente normais — cerca de 95\% das observações ficam dentro de \pm2s — aqui estamos perto disso.))

Passo 7

(f) Mediana para dados agrupados e interpretação.
Para dados agrupados, a mediana \tilde{x} pode ser estimada por interpolação linear na classe mediana usando a fórmula
\tilde{x} = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f}\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • F é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • f é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude da classe,
  • n é o total de observações.
Encontrar a classe mediana: n/2 = 200/2 = 100. As frequências acumuladas:
2,\\\ 12,\\\ 30,\\\ 80,\\\ 150,\\ \dots
A frequência acumulada alcança 100 dentro da classe [50,55) (essa classe tem n_5=70 e a acumulada antes dela é F=80). Assim:
  • L=50,
  • F=80,
  • f=70,
  • h=5.
Aplicando a fórmula:
\tilde{x} = 50 + \frac{100-80}{70}\cdot 5 = 50 + \frac{20}{70}\cdot 5 = 50 + \frac{2}{7}\cdot 5 = 50 + \frac{10}{7} \approx 51{,}4286.
Interpretação: a mediana estimada é \tilde{x}\approx 51{,}43 salários mínimos; isso significa que aproximadamente 50% dos vendedores (isto é, 100 de 200) têm vendas semanais até cerca de 51{,}43 salários mínimos, e 50% têm vendas semanais iguais ou acima desse valor.

Resposta

(a) Histograma: retângulos nas classes [30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70) com alturas (frequências) 2,10,18,50,70,30,18,2 respectivamente.
(b) \bar{x}=51{,}2.
(c) \displaystyle \sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{k} n_{i} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}.
(d) s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum n_i(x_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\dfrac{8762}{199}}\approx 6{,}64.
(e) Aproximadamente 94{,}12\% das observações estão entre \bar{x}-2s e \bar{x}+2s.
(f) Mediana \tilde{x}\approx 51{,}4286 (interpretação: metade das vendas semanais está abaixo ou igual a esse valor e metade acima).

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