Os dados abaixo representam as vendas semanais, em classes de salários mínimos, de vendedores de gêneros alimentícios:
Vendas semanais
\mathrm{N}^{\mathrm{O}} de vendedores
30 \vdash 35
2
35 \vdash 40
10
40 \vdash 45
18
45 \vdash 50
50
50 \vdash 55
70
55 \vdash 60
30
60 \vdash 65
18
65 \vdash 70
2
(a) Faça o histograma dos dados.
(b) Determine a média amostral.
(c) Prove que \sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{k} n_{i} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}, em que k é o número de classes e n_{i} é a frequência simples da classe i.
(d) Utilize a informação da parte (c) para determinar o desvio-padrão amostral ( s ).
(e) Qual a porcentagem das observações compreendidas entre \bar{x}-2 s e \bar{x}+2 s ?
(f) Determine e interprete a mediana.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela de classes de vendas semanais (em salários mínimos) e as respectivas frequências. As perguntas são:
(a) Fazer o histograma dos dados.
(b) Determinar a média amostral.
(c) Provar a identidade \displaystyle \sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{k} n_{i} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}, em que k é o número de classes e n_{i} é a frequência simples da classe i.
(d) Usar (c) para determinar o desvio-padrão amostral s.
(e) Calcular a porcentagem de observações entre \bar{x}-2s e \bar{x}+2s.
(f) Determinar e interpretar a mediana.
Informações dadas (peguei todos os números da tabela do enunciado):
Classes e frequências n_i:
30\vdash35:\; n_1=2
35\vdash40:\; n_2=10
40\vdash45:\; n_3=18
45\vdash50:\; n_4=50
50\vdash55:\; n_5=70
55\vdash60:\; n_6=30
60\vdash65:\; n_7=18
65\vdash70:\; n_8=2
Vou trabalhar com os pontos médios de cada classe (prática usual para dados agrupados). Os pontos médios x_i são:
(a) Como construir o histograma (passo a passo didático):
Cada classe tem largura h=5 (por exemplo, 30 até 35 tem amplitude 5).
Para histogramas com classes de mesma largura é usual usar a altura igual à frequência absoluta (ou então à densidade relativa se as larguras fossem desiguais). Aqui as larguras são iguais, então basta desenhar retângulos com base nas classes e alturas iguais às frequências.
Dados para desenhar (classe \to altura = frequência):
[30,35)\\ \to\\\ 2
[35,40)\\ \to\\\ 10
[40,45)\\ \to\\\ 18
[45,50)\\ \to\\\ 50
[50,55)\\ \to\\\ 70
[55,60)\\ \to\\\ 30
[60,65)\\ \to\\\ 18
[65,70)\\ \to\\\ 2
Instrução prática para desenhar: no eixo horizontal colocar os intervalos de 30 a 70 com marcas a cada 5; no eixo vertical colocar frequência de 0 até pelo menos 70; desenhar retângulos cujas bases são os intervalos e cujas alturas são as frequências listadas acima.
Observação interpretativa rápida: o histograma será simétrico em torno de aproximadamente 50–52{,}5 com pico na classe 50\vdash55 (frequência 70).
Passo 3
(b) Calcular a média amostral \bar{x}.
Fórmula e ideia: para dados agrupados usamos a média aproximada pelos pontos médios:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i,
onde n é o total de observações, n_i é a frequência da classe i e x_i é o ponto médio da classe i.
Cálculo dos produtos n_i x_i (vou mostrar as contas):
Comentário didático: essa identidade é útil porque às vezes é mais fácil calcular \sum n_i x_i^2 e \bar{x} do que computar todos os desvios individuais x_i-\bar{x}.
Passo 5
(d) Calcular o desvio-padrão amostral s usando (c).
Primeiro calculamos \sum_{i=1}^{8} n_i x_i^2. Vou mostrar x_i^2 e os produtos n_i x_i^2:
Para o desvio-padrão amostral usamos a definição (amostral, com denominador n-1):
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i-\bar{x})^2 }.
Substituindo:
s = \sqrt{\frac{8762}{199}} \approx \sqrt{44{,}03015075}\approx 6{,}64.
Mais precisamente s \approx 6{,}636 (arredondando, s\approx 6{,}64 salários mínimos).
Explicação rápida: usamos n-1 porque estamos usando a estimativa amostral do desvio; esse é o estimador clássico não-viesado para variância amostral em muitos contextos.
Passo 6
(e) Porcentagem das observações entre \bar{x}-2s e \bar{x}+2s.
Agora vamos estimar quantas observações caem nesse intervalo. Como os dados estão agrupados por classes, uso a suposição usual de distribuição uniforme dentro de cada classe para tratar classes que são parcialmente cortadas pelos limites. Procedimento e conta:
Classe [35,40) com n_2=10: apenas a parte de 37{,}929 até 40 está dentro. Comprimento incluído =40-37{,}929=2{,}071. Fração da classe incluída =2{,}071/5=0{,}4142. Pessoas incluídas \approx 10\cdot 0{,}4142 = 4{,}142.
Classes totalmente incluídas: [40,45),[45,50),[50,55),[55,60)\\ com frequências \(18,50,70,30 respectivamente — todas completamente dentro do intervalo.
Classe [60,65) com n_7=18: apenas a parte de 60 até 64{,}471 está dentro. Comprimento incluído =64{,}471-60=4{,}471. Fração incluída =4{,}471/5=0{,}8942. Pessoas incluídas \approx 18\cdot 0{,}8942 = 16{,}096.
Interpretação: cerca de 94{,}1\% das observações estão a menos de dois desvios-padrão amostrais da média. (Compare isso com a regra empírica para distribuições aproximadamente normais — cerca de 95\% das observações ficam dentro de \pm2s — aqui estamos perto disso.))
Passo 7
(f) Mediana para dados agrupados e interpretação.
Para dados agrupados, a mediana \tilde{x} pode ser estimada por interpolação linear na classe mediana usando a fórmula
\tilde{x} = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f}\,h,
onde:
L é o limite inferior da classe mediana,
F é a frequência acumulada antes da classe mediana,
f é a frequência da classe mediana,
h é a amplitude da classe,
n é o total de observações.
Encontrar a classe mediana: n/2 = 200/2 = 100. As frequências acumuladas:
2,\\\ 12,\\\ 30,\\\ 80,\\\ 150,\\ \dots
A frequência acumulada alcança 100 dentro da classe [50,55) (essa classe tem n_5=70 e a acumulada antes dela é F=80). Assim:
Interpretação: a mediana estimada é \tilde{x}\approx 51{,}43 salários mínimos; isso significa que aproximadamente 50% dos vendedores (isto é, 100 de 200) têm vendas semanais até cerca de 51{,}43 salários mínimos, e 50% têm vendas semanais iguais ou acima desse valor.
Resposta
(a) Histograma: retângulos nas classes [30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70) com alturas (frequências) 2,10,18,50,70,30,18,2 respectivamente.
(b) \bar{x}=51{,}2.
(c) \displaystyle \sum_{i=1}^{k} n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{k} n_{i} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}.
(d) s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum n_i(x_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\dfrac{8762}{199}}\approx 6{,}64.
(e) Aproximadamente 94{,}12\% das observações estão entre \bar{x}-2s e \bar{x}+2s.
(f) Mediana \tilde{x}\approx 51{,}4286 (interpretação: metade das vendas semanais está abaixo ou igual a esse valor e metade acima).