Dados 
  e 
 , mostre que:
(b) Se 
  e 
 , então 
  (Sugestão: Se 
  existe um natural 
  tal que 
 . Faça então indução sobre 
  ).
(b) Se
Passo 1
Então, a gente tem números naturais 
  e 
  que também são naturais, mas 
  e 
  são positivos. A pergunta quer que a gente mostre que se 
  e 
 , então 
 . Vamos usar o conceito de indução matemática para provar isso, especialmente pensando que se 
 , dá pra escrever 
  onde 
  é um número natural positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 
 . Aqui, 
  é quantas unidades a mais 
  tem em relação a 
 . Por exemplo, se 
  e 
 , então 
  porque 
 .
Passo 3
Agora, vamos reescrever 
  usando 
 :
Pela propriedade das potências, sabemos que:
Então, queremos provar que 
 .
Passo 4
Como 
  e 
  (porque 
  é um natural positivo), sabemos que 
 . Isso acontece porque qualquer número maior que 1 elevado a uma potência positiva vai ser maior que 1.
Passo 5
Agora, multiplicando 
  por 
 , temos:
Ou seja, 
 .
Resposta
Portanto, mostramos que se 
  e 
 , então 
 .