Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos de vetores no plano:
- V é o conjunto de vetores onde as duas coordenadas são iguais, ou seja,
. - U é o conjunto de vetores onde a soma das coordenadas é zero, ou seja,
.
Nos pedem para escrever o vetor
como a soma de um vetor de V e outro de U. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre decomposição de vetores em subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor de V de
, já que suas coordenadas são iguais. E o vetor de U de
, porque
.
Então, queremos que:
Passo 3
Agora, igualamos as componentes correspondentes:
-
Primeira coordenada:
-
Segunda coordenada:
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 5
Agora que temos
, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Passo 6
Com
e
, temos:
- O vetor de V:
- O vetor de U:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como a soma de
e
: