Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(a) u=(3,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos de vetores no plano:
  • V é o conjunto de vetores onde as duas coordenadas são iguais, ou seja, V = x in R^2 mid x1 = x2.
  • U é o conjunto de vetores onde a soma das coordenadas é zero, ou seja, U = x in R^2 mid x1 + x2 = 0.
Nos pedem para escrever o vetor u = (3,5) como a soma de um vetor de V e outro de U. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre decomposição de vetores em subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor de V de v = (a, a), já que suas coordenadas são iguais. E o vetor de U de w = (b, -b), porque b + (-b) = 0.
Então, queremos que:
v + w = (a + b, a - b) = (3,5)

Passo 3

Agora, igualamos as componentes correspondentes:
  1. Primeira coordenada:
    a + b = 3
  2. Segunda coordenada:
    a - b = 5
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar b:
(a + b) + (a - b) = 3 + 5 2a = 8 a = 4

Passo 5

Agora que temos a = 4, substituímos na primeira equação para encontrar b:
4 + b = 3 b = 3 - 4 b = -1

Passo 6

Com a = 4 e b = -1, temos:
  • O vetor de V: v = (4, 4)
  • O vetor de U: w = (-1, 1)

Resposta

Portanto, o vetor u = (3,5) pode ser escrito como a soma de (4,4) in V e (-1,1) in U:
(3,5) = (4,4) + (-1,1)

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