Dados dois vetores \vec{u} e \vec{v} do plano. Mostre que \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0 se e somente se \|\vec{u}-\vec{v}\|=\|\vec{u}+\vec{v}\|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois vetores \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (isto é, \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0) se, e somente se, os comprimentos dos vetores \vec{u}-\vec{v} e \vec{u}+\vec{v} forem iguais. Vamos usar a definição de norma induzida pelo produto interno:
\|\vec{w}\| = \sqrt{\langle\vec{w},\vec{w}\rangle}
e a propriedade distributiva do produto interno para expandir \|\vec{u}\pm\vec{v}\|^2.

Passo 2

Suponha primeiro que \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0. Então
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \langle\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle = \langle\vec{u},\vec{u}\rangle +2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle +\langle\vec{v},\vec{v}\rangle = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2
e de modo análogo
\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \langle\vec{u}-\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v}\rangle = \|\vec{u}\|^2 -2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle +\|\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2.
Daí segue imediatamente que \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}-\vec{v}\|^2, logo \|\vec{u}+\vec{v}\| = \|\vec{u}-\vec{v}\|.

Passo 3

Agora suponha \|\vec{u}+\vec{v}\| = \|\vec{u}-\vec{v}\|. Elevando ao quadrado,
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 \;=\;\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 \;\Longrightarrow\; \bigl(\|\vec{u}\|^2 +2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle+\|\vec{v}\|^2\bigr) =\bigl(\|\vec{u}\|^2 -2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle+\|\vec{v}\|^2\bigr).
Cancelando \|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2 de ambos os lados, obtemos
2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = -2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle \;\Longrightarrow\; 4\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 0 \;\Longrightarrow\; \langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 0.

Resposta

Mostramos que \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0 se, e somente se, \|\vec{u}-\vec{v}\|=\|\vec{u}+\vec{v}\|.

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