Dados dois vetores
e
do plano. Mostre que
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois vetores
e
são ortogonais (isto é,
) se, e somente se, os comprimentos dos vetores
e
forem iguais. Vamos usar a definição de norma induzida pelo produto interno:
e a propriedade distributiva do produto interno para expandir
.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Então
e de modo análogo
Daí segue imediatamente que
, logo
.
Passo 3
Agora suponha
. Elevando ao quadrado,
Cancelando
de ambos os lados, obtemos
Resposta
Mostramos que
se, e somente se,
.