Dados os grupos
com operação
com operação
, vamos definir no produto cartesiano
a operação * por:
. O conjunto
munido da operação
é um grupo. Considere os grupos
e
, cujas operações são a soma módulo 2 e 3, respectivamente. Determine todos os subgrupos do grupo
. (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os subgrupos do grupo
, que é o produto direto de dois grupos cíclicos. Vamos usar as ideias de ordem de grupo, teorema de Lagrange e o fato de que
é cíclico (ordens coprimas).
Passo 2
Calculamos a ordem do grupo:
. Pelo teorema de Lagrange, toda ordem de subgrupo deve dividir 6, logo as possíveis ordens são 1, 2, 3 e 6.
Passo 3
Para ordem 1, só dá o subgrupo trivial formado pela identidade:
.
Passo 4
Para ordem 2, buscamos um elemento de ordem 2. Note que
tem ordem 2, pois
. Então o subgrupo é
.
Passo 5
Para ordem 3, pegamos um elemento de ordem 3. Por exemplo
tem ordem 3, pois
. Assim o subgrupo é
.
Passo 6
Para ordem 6, temos o próprio grupo
.
Resposta
Os subgrupos de
são:
,
,
e
.