Dados os grupos G com operação oplus e H com operação odot, vamos definir no produto cartesiano G times H=(g, h) mid g in G, h in H a operação * por: (g1, h1) *(g2, h2)=(g1 oplus g2, h1 odot h2). O conjunto G times H munido da operação * é um grupo. Considere os grupos Z2 e Z3, cujas operações são a soma módulo 2 e 3, respectivamente. Determine todos os subgrupos do grupo Z2 times Z3. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os subgrupos do grupo Z2 times Z3, que é o produto direto de dois grupos cíclicos. Vamos usar as ideias de ordem de grupo, teorema de Lagrange e o fato de que Z2 times Z3 é cíclico (ordens coprimas).

Passo 2

Calculamos a ordem do grupo: lvertZ2 times Z3rvert = 2 cdot 3 = 6. Pelo teorema de Lagrange, toda ordem de subgrupo deve dividir 6, logo as possíveis ordens são 1, 2, 3 e 6.

Passo 3

Para ordem 1, só dá o subgrupo trivial formado pela identidade: (0,0).

Passo 4

Para ordem 2, buscamos um elemento de ordem 2. Note que (1,0) tem ordem 2, pois (1,0)+(1,0)=(0,0). Então o subgrupo é lang<=(1,0)rang<==(0,0),(1,0).

Passo 5

Para ordem 3, pegamos um elemento de ordem 3. Por exemplo (0,1) tem ordem 3, pois (0,1)+(0,1)+(0,1)=(0,0). Assim o subgrupo é lang<=(0,1)rang<==(0,0),(0,1),(0,2).

Passo 6

Para ordem 6, temos o próprio grupo Z2timesZ3.

Resposta

Os subgrupos de Z2 times Z3 são: (0,0), (0,0),(1,0), (0,0),(0,1),(0,2) e Z2 times Z3.

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