Use funções integrais para calcular o valor: sin (0.1).

Passo 1

A questão pede para calcular sin(0.1) usando funções integrais. Isso envolve saber que a função seno pode ser definida como uma integral de cos(t) e depois aproximar esse valor de forma numérica ou via séries de Taylor.

Passo 2

Pela definição de função integral, temos:
sin(x)=integral0^xcos(t),dt
Aqui usamos a teoria de que se f é contínua em um intervalo, a função F(x)=integral0^xf(t),dt é chamada de função integral de f. No nosso caso, f(t)=cos(t) é contínua em R.

Passo 3

Para aproximar a integral de forma prática, expandimos cos(t) em série de Maclaurin:
cos(t)=sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n)!
Como essa série converge para todo t, podemos integrar termo a termo:
sin(x)=integral0^xsumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n)!,dt;=;sumn=0^infty(-1)^n1(2n)!integral0^xt^2n,dt;=;sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Agora basta substituir x=0.1 e somar os primeiros termos para ter uma boa precisão. Vamos até n=2:
  1. n=0:;dfrac(0.1)^11!=0.1
  2. n=1:;-dfrac(0.1)^33!=-dfrac0.0016approx-0.0001666667
  3. n=2:;+dfrac(0.1)^55!=dfrac1times10^-5120approx0.0000000833

Passo 5

Somando:
0.1-0.0001666667+0.0000000833approx0.0998334166

Resposta

sin(0.1)approx0.09983342

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