Dados A=\left(\begin{array}{ccccc}x & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & x & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & x & 1 & k \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & x \\\\ 0 & 5 & 0 & 3 & -2\end{array}\right) e a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{det} A, determine K de modo que f(-2)=8

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a função \,f(x)=\det A em que
A=\begin{pmatrix} x & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & x & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & x & 1 & K\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & x\\\\ 0 & 5 & 0 & 3 & -2 \end{pmatrix},
e queremos determinar K de modo que f(-2)=8.

Passo 2

Observe que, ao expandir \det A pela primeira coluna, o único elemento não nulo é A_{11}=x. Assim,
\det A = x\;\det M,
em que M é a submatriz obtida removendo a linha 1 e a coluna 1 de A:
M=\begin{pmatrix} x & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & x & 1 & K\\\\ 0 & 0 & 1 & x\\\\ 5 & 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det M fazemos expansão pela primeira linha, notando que os elementos nas colunas 3 e 4 da primeira linha são zero:
\det M = x \begin{vmatrix} x & 1 & K\\\\ 0 & 1 & x\\\\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 0 & 1 & K\\\\ 0 & 1 & x\\\\ 5 & 3 & -2 \end{vmatrix}.
No primeiro 3\times3:
\begin{vmatrix} x & 1 & K\\\\ 0 & 1 & x\\\\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = x\bigl(-2-3x\bigr) = -3x^2-2x,
e no segundo:
\begin{vmatrix} 0 & 1 & K\\\\ 0 & 1 & x\\\\ 5 & 3 & -2 \end{vmatrix} =5\,(x-K).
Logo
\det M = x(-3x^2-2x)\;-\;5(x-K) = -3x^3-2x^2-5x+5K.

Passo 4

Portanto
f(x)=\det A = x\det M = -3x^4-2x^3-5x^2+5Kx.
Substituindo x=-2 e impondo f(-2)=8 resulta
-3(-2)^4-2(-2)^3-5(-2)^2+5K(-2)=8 \;\Longrightarrow\; -52-10K=8 \;\Longrightarrow\; K=-6.

Resposta

K=-6

Exercícios relacionados