Desenvolva o determinante D=\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ -4 & 5 & -2\end{array}\right|
a) Pela 2{ }^{a} linha
b) pela 3 a coluna

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ -4 & 5 & -2 \end{vmatrix}
usando expansão de Laplace (ou cofactores)
a) ao longo da segunda linha
b) ao longo da terceira coluna.

Passo 2

Para expandir pela segunda linha, usamos
D = \sum_{j=1}^{3} (-1)^{2+j}\,a_{2j}\,\det(M_{2j}),
onde a_{2j} é o elemento da segunda linha e M_{2j} é a matriz que sobra ao suprimir linha 2 e coluna j.
O primeiro cofactor ( j=1) envolve
M_{21} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 5 & -2 \end{pmatrix},
\det(M_{21}) = (-1)\cdot(-2) - 2\cdot5 = 2 - 10 = -8,
e o sinal é (-1)^{2+1} = -1.
O segundo cofactor ( j=2) envolve
M_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ -4 & -2 \end{pmatrix},
\det(M_{22}) = 1\cdot(-2) - 2\cdot(-4) = -2 + 8 = 6,
e o sinal é (-1)^{2+2} = +1.
O terceiro cofactor ( j=3) envolve
M_{23} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -4 & 5 \end{pmatrix},
\det(M_{23}) = 1\cdot5 - (-1)\cdot(-4) = 5 - 4 = 1,
e o sinal é (-1)^{2+3} = -1.
Agora montamos a soma:
D = 2\cdot(-1)\cdot(-8) \;+\; 1\cdot(+1)\cdot6 \;+\; 3\cdot(-1)\cdot1 = 16 + 6 - 3 = 19.

Passo 3

Para expandir pela terceira coluna, usamos
D = \sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+3}\,a_{i3}\,\det(M_{i3}),
onde a_{i3} é o elemento da coluna 3 e M_{i3} é a matriz que sobra ao suprimir linha i e coluna 3.
Para i=1:
M_{13} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ -4 & 5 \end{pmatrix},
\det(M_{13}) = 2\cdot5 - 1\cdot(-4) = 10 + 4 = 14,
sinal (-1)^{1+3}=+1.
Para i=2:
M_{23} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -4 & 5 \end{pmatrix},
\det(M_{23}) = 1\cdot5 - (-1)\cdot(-4) = 5 - 4 = 1,
sinal (-1)^{2+3}=-1.
Para i=3:
M_{33} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix},
\det(M_{33}) = 1\cdot1 - (-1)\cdot2 = 1 + 2 = 3,
sinal (-1)^{3+3}=+1.
Somando:
D = 2\cdot(+1)\cdot14 \;+\; 3\cdot(-1)\cdot1 \;+\; (-2)\cdot(+1)\cdot3 = 28 - 3 - 6 = 19.

Resposta

a) 19
b) 19

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