Dados: \mathrm{D}_{\mathrm{o}}=1 \mathrm{in};
1 \mathrm{in}=25,4 \mathrm{~mm};
Fator de correção =1,5
2- Calcule a carga necessária para extrudar um material que apresenta \sigma_{\mathrm{v}}=390 \varepsilon_{\mathrm{v}}{ }^{0,50} \mathrm{MPa}, e que terá o seguinte perfil (simétrico): ( \mathbf{3 , 0} )

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: Calcular a carga necessária (força de extrusão) para extrudir o perfil simétrico desenhado.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Diâmetro do tarugo (billet): D_{\mathrm{o}}=1\\ \mathrm{in}.
    • Conversão: 1\\ \mathrm{in}=25{,}4\\ \mathrm{mm}.
    • Fator de correção: 1,5 (este fator aparece também na fórmula fornecida).
    • Lei de escoamento do material: \sigma_v = 390\\ \varepsilon_v^{0,50}\\ \mathrm{MPa}.
      • Interpretação: trata‑se da lei potência \sigma = K\,\varepsilon^{n} com K=390\\ \mathrm{MPa} e n=0{,}50.
  • Dimensões do perfil (peguei estas medidas da figura fornecida):
    • Espessura da base (fundo): 1/16\\ \mathrm{in}.
    • Largura interna do fundo: 6/16\\ \mathrm{in}.
    • Espessura das paredes laterais: 1/16\\ \mathrm{in} (cada).
    • Altura das paredes: 1/4\\ \mathrm{in}.
    • Perfil simétrico (duas paredes iguais).
  • Fórmulas fornecidas (peguei da imagem com as fórmulas):
    • Relação de redução: \mathrm{Re}=\dfrac{A_o}{A_f}.
    • Pressão média dada: \displaystyle P_{\mathrm{média}}=\frac{1{,}5\;K\{\ln\mathrm{Re}\}^{\,n+1}}{n+1}é.
    • Força: \;F=P_{\mathrm{média}}\;A_oé.
  • Observação importante para o cálculo: devo calcular A_o (área do tarugo) e A_f (área da seção final do perfil), converter unidades para obter força em newtons (usar mm e MPa), calcular \mathrm{Re}, P_{\mathrm{média}}é e então F.

Passo 2

Calcular a área do tarugo A_o (circular) em \mathrm{in}^2 e converter para \mathrm{mm}^2.
  • Fórmula da área do círculo: A_o=\frac{\pi D_{\mathrm{o}}^{2}}{4}.
  • Substituindo D_{\mathrm{o}}=1\\ \mathrm{in}: A_o=\frac{\pi\cdot(1\\ \mathrm{in})^{2}}{4}=\frac{\pi}{4}\\ \mathrm{in}^2\approx0{,}785398\\ \mathrm{in}^2.
  • Converter para \mathrm{mm}^2. Como 1\\ \mathrm{in}^{2}=(25{,}4\\ \mathrm{mm})^{2}=645{,}16\\ \mathrm{mm}^2: A_o=\frac{\pi}{4}\times 645{,}16\\ \mathrm{mm}^2 \approx 506{,}707\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 3

Calcular a área do perfil extrudado A_f (seção final) em \mathrm{in}^2 e converter para \mathrm{mm}^2.
  • Dividir a seção em partes simples: base (fundo) retangular + duas paredes retangulares.
  • Dimensões (em polegadas) da figura:
    • largura do fundo: 6/16\\ \mathrm{in},
    • espessura do fundo: 1/16\\ \mathrm{in},
    • altura de cada parede: 1/4\\ \mathrm{in},
    • espessura de cada parede: 1/16\\ \mathrm{in}.
  • Área do fundo: A_{\text{fundo}}=\left(\frac{6}{16}\right)\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{6}{256}=0{,}0234375\\ \mathrm{in}^2.
  • Área das duas paredes: A_{\text{paredes}}=2\cdot\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{16}\right)=2\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{32}=0{,}03125\\ \mathrm{in}^2.
  • Área total do perfil: A_f=A_{\text{fundo}}+A_{\text{paredes}}=0{,}0234375+0{,}03125=0{,}0546875\\ \mathrm{in}^2.
  • Converter para \mathrm{mm}^2: A_f=0{,}0546875\times645{,}16\\ \mathrm{mm}^2\approx 35{,}264\\ \mathrm{mm}^2.
  • Observação útil (forma algébrica): nota-se que A_f=\dfrac{7}{128}\\ \mathrm{in}^2 (checagem rápida).

Passo 4

Calcular a razão de redução \mathrm{Re} e o seu logaritmo natural.
  • Definição: \mathrm{Re}=\frac{A_o}{A_f}.
  • Usando os valores em \mathrm{in}^2 (a razão é adimensional, podemos usar in^2 ou mm^2; dá o mesmo): \mathrm{Re}=\frac{\pi/4}{0{,}0546875}=\frac{32\pi}{7}\approx 14{,}36619772.
  • Logaritmo natural: \ln(\mathrm{Re})=\ln\!\left(\frac{32\pi}{7}\right)\approx 2{,}664555637.

Passo 5

Avaliar a expressão para a pressão média P_{\mathrm{média}}é usando a lei de escoamento e os parâmetros K e n.
  • Temos K=390\\ \mathrm{MPa} e n=0{,}50.
  • Fórmula dada: P_{\mathrm{média}}=\frac{1{,}5\;K\{\ln\mathrm{Re}\}^{\,n+1}}{n+1}.é
  • Para n=0{,}5 temos n+1=1{,}5, logo o fator 1{,}5 do numerador cancela com o denominador 1{,}5. Portanto a expressão simplifica para: P_{\mathrm{média}=}K\{\ln\mathrm{Re}\}^{\,1{,}5}.é(interpretação física: o “fator de correção” 1,5 fornecido aparece na fórmula e, para n=0{,}5, ele se cancela matematicamente com n+1. Assim não é necessário multiplicar a força final por outro 1,5 adicional.)
  • Calcular (\ln\mathrm{Re})^{1{,}5}: (\ln\mathrm{Re})^{1{,}5}=(2{,}664555637)^{1{,}5}\approx 4{,}349716.
  • Então: P_{\mathrm{média}}=390\\ \mathrm{MPa}\times 4{,}349716 \approx 1696{,}39\\ \mathrm{MPa}.é

Passo 6

Calcular a força F=P_{\mathrm{média}}\;A_oé e converter para unidades práticas.
  • Usar A_o em \mathrm{mm}^2 e P_{\mathrm{média}}é em \mathrm{MPa}=(\mathrm{N}/\mathrm{mm}^2) para obter F em newtons: F=P_{\mathrm{média}}\;A_o \approx 1696{,}39\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 506{,}707\\ \mathrm{mm}^2.é
  • Multiplicando: F\approx 859{,}573\\ \mathrm{N}.
  • Converter para quilonewtons: F\approx 859{,}6\\ \mathrm{kN}.
  • Converter para toneladas‑força métricas (opcional): 1\\ \text{tf}\approx 9{,}81\\ \mathrm{kN}, F\approx \frac{859{,}6}{9{,}81}\\ \text{tf}\approx 87{,}7\\ \text{tf}.

Resposta

F\approx 8{,}60\times 10^{5}\\ \mathrm{N} (aprox. 859{,}6\\ \mathrm{kN})

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