Questão Extra (3.0)
Uma placa com dimensões de 2.0 \mathrm{~m} \times 1.2 \mathrm{~m} é sustentado por um poste circular oco com diâmetro externo de 220 mm e diâmetro interno de 180 \mathrm{~mm} . \mathrm{O} sinal está deslocado 0.5 m da linha central do poste e sua borda inferior está 6.0 m acima do solo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (peguei estes números da figura) e o que falta para resolver um pedido numérico. Informações fornecidas:
  • Placa (sinal) com dimensões 2{,}0\\ \mathrm{m}\times 1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Poste circular oco com diâmetro externo D=220\\ \mathrm{mm}=0,22\\ \mathrm{m} e diâmetro interno d=180\\ \mathrm{mm}=0,18\\ \mathrm{m}.
  • O sinal está deslocado e=0{,}5\\ \mathrm{m} da linha central do poste (essa é a “alavanca” horizontal entre a resultante da força no sinal e o eixo do poste).
  • A borda inferior do sinal está a 6{,}0\\ \mathrm{m} do solo; portanto o centróide vertical do retângulo está a 6{,}0+0{,}6=6{,}6\\ \mathrm{m} do solo (isto é útil para posicionamento, caso se queira calcular forças de vento variando com a altura).
  • Há uma figura do corte transversal do poste marcada com pontos A, B e C (indicando fibras externas do tubo).
O enunciado que você enviou não contém explicitamente a pergunta final (por exemplo: “calcule a tensão máxima no poste” ou “determine o momento na base dado uma pressão de vento p = …”). Também não foi dada nenhuma carga/pressionamento sobre o sinal (por exemplo pressão do vento p em \mathrm{N/m^2} ou uma força resultante F em N). Sem essa informação numérica da carga, NÃO é possível fornecer um valor numérico final para tensões ou esforços.
Abaixo eu explico passo a passo como resolver o problema caso a pergunta seja obter a tensão máxima por flexão no poste, e dou a expressão final em função da pressão p. Se o seu enunciado pedia outra coisa (momento, reação na base, tensão em pontos A/B/C, etc.), o método é similar — use o mesmo raciocínio mas me diga se quiser que eu calcule para um valor de p específico (como exemplo eu também apresento um cálculo numérico com um p hipotético).

Passo 2

O primeiro conceito: como obter a força aplicada pelo vento (ou outra pressão) sobre o sinal. Se uma pressão uniforme p (em \mathrm{N/m^2}) age perpendicularmente à face da placa, a força resultante F sobre a placa é
F = p \, A,
onde A é a área da placa. Aqui
A = 2{,}0 \times 1{,}2 = 2{,}4\\ \mathrm{m^2}.
Explicação didática: p é uma pressão (força por área). Multiplicando pela área da superfície atingida obtemos a força total que age como se concentrada no centróide da placa (para pressão uniforme), que está no centro do retângulo.

Passo 3

Onde age essa força e qual é a alavanca que causa o momento no poste?
  • A força F age no centróide da placa, que está a 0{,}6\\ \mathrm{m} acima da borda inferior, logo a 6{,}6\\ \mathrm{m} do solo (useful para problemas que dependem da altura).
  • Porém, a alavanca horizontal que cria o momento de flexão no poste é o deslocamento lateral entre a linha de ação da força e o eixo do poste: esse deslocamento é e=0{,}5\\ \mathrm{m} (fornecido). Assim, o momento fletor na base devido a F é
M = F \, e = p \, A \, e.
Comentário didático: o momento depende da força e da distância perpendicular entre a força e o eixo; o fato da força atuar a uma altura grande não altera o valor do momento em torno do eixo vertical do poste — para flexão lateral o que importa é a alavanca horizontal.

Passo 4

Agora a teoria da resistência dos materiais: tensão normal por flexão simples. Para uma viga (ou poste) com momento M aplicado, a tensão normal por flexão na fibra mais distante do centroide é dada por
\sigma_{\max} = \frac{M\,c}{I},
onde:
  • M é o momento fletor (em \mathrm{N\cdot m});
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro (em \mathrm{m^4});
  • c é a distância do centroide até a fibra mais afastada (em \mathrm{m}).
    Outra forma útil é usar a resistência de seção (módulo de seção) S, definida por S = I/c, de modo que
\sigma_{\max} = \frac{M}{S}.
Explicação prática: I mede “quão resistente a seção é à flexão” (mais I → menos tensão para o mesmo momento). c é a distância até a fibra mais crítica (normalmente a superfície externa).

Passo 5

Cálculo do momento de inércia I para a seção circular oca. A fórmula para o momento de inércia (eixo que passa pelo centro e perpendicular ao plano da flexão) é
I = \frac{\pi}{64}\left(D^4 - d^4\right),
onde D é o diâmetro externo e d o diâmetro interno (ambos em metros). Substituindo D=0{,}22\\ \mathrm{m} e d=0{,}18\\ \mathrm{m}:
I = \frac{\pi}{64}\bigl(0{,}22^4 - 0{,}18^4\bigr).
Vamos calcular passo a passo (não pule isso na prova):
  • 0{,}22^2 = 0{,}0484, então 0{,}22^4 = 0{,}0484^2 = 0{,}00234256.
  • 0{,}18^2 = 0{,}0324, então 0{,}18^4 = 0{,}0324^2 = 0{,}00104976.
  • Diferença: 0{,}00234256 - 0{,}00104976 = 0{,}00129280.
  • Multiplicando por \pi/64 (observe \pi/64\approx 0{,}049087385):
I \approx 0{,}049087385 \times 0{,}00129280 \approx 0{,}00006343\\ \mathrm{m^4}.

Passo 6

Calcular c e o módulo de seção S. Para a fibra mais externa c é o raio externo:
c = \frac{D}{2} = \frac{0{,}22}{2} = 0{,}11\\ \mathrm{m}.
Logo o módulo de seção é
S = \frac{I}{c} \approx \frac{0{,}00006343}{0{,}11} \approx 0{,}0005767\\ \mathrm{m^3}.
Comentário prático: em provas, memorizar a fórmula de I para tubo circular oco e saber dividir por c para obter S é direto e rápido.

Passo 7

Expressão final da tensão máxima em função da pressão p. Substituindo M = pAe e S na relação \sigma_{\max} = M/S:
\sigma_{\max} = \frac{p\,A\,e}{S}.
Substituindo A=2{,}4\\ \mathrm{m^2}, e=0{,}5\\ \mathrm{m} e S\approx 0{,}0005767\\ \mathrm{m^3}:
p\,A\,e = p \times 2{,}4 \times 0{,}5 = p \times 1{,}2,
logo
\sigma_{\max} \approx \frac{1{,}2\,p}{0{,}0005767} \approx 2082{,}9\;p.
Aqui \sigma_{\max} fica em \mathrm{Pa} se p estiver em \mathrm{N/m^2}. Em unidades mais usuais:
  • Se p for dado em \mathrm{kN/m^2} (ou \mathrm{kPa}, lembrando 1\\ \mathrm{kN/m^2}=1000\\ \mathrm{N/m^2}), então
\sigma_{\max}\\ (\mathrm{Pa}) \approx 2082{,}9 \times p\\ (\mathrm{N/m^2}).
Para converter para \mathrm{MPa}, divida por 10^6.

Passo 8

Exemplo numérico didático (apenas para ver ordem de grandeza). Suponha uma pressão de vento uniforme hipotética p=1000\\ \mathrm{N/m^2}=1{,}0\\ \mathrm{kN/m^2} (apenas exemplo):
\sigma_{\max} \approx 2082{,}9\times 1000 \approx 2{,}083\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 2{,}083\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: com p=1{,}0\\ \mathrm{kN/m^2} a tensão máxima por flexão na parede externa do tubo seria por volta de 2{,}1\\ \mathrm{MPa} — um valor pequeno comparado às resistências típicas do aço (centenas de MPa), mas esse número depende totalmente do p real.

Passo 9

Observações finais didáticas e como proceder na prova:
  • Se o enunciado pedir tensão em pontos A, B, C localizados na parede externa do tubo: as tensões por flexão são lineares no raio, então a fibra externa (pontos no perímetro exterior) terá |\sigma|=\sigma_{\max}. Um lado do tubo (no sentido da força) estará em tração e o lado oposto em compressão.
  • Se houver também um esforço cortante importante, a tensão cortante média pode ser avaliada, mas para tubos finos a tensão de flexão costuma dominar para a verificação de segurança contra escoamento.
  • Se o problema exigir momento na base: é \,M = p\,A\,e. Se exigir reação na base em termos de força horizontal, é F = p\,A.
  • Para obter um valor numérico final para \sigma_{\max} é necessária a informação numérica da carga (por exemplo p ou F). Sem esse dado, o resultado correto é a expressão em função de p que apresentei.

Resposta

Não é possível fornecer um valor numérico final porque o enunciado não informa a carga (por exemplo, a pressão do vento p ou a força resultante F).
A tensão máxima por flexão, em função da pressão uniforme p (em \mathrm{N/m^2}), é
\boxed{\sigma_{\max}\approx 2082{,}9\;p\quad(\text{com }\sigma_{\max}\text{ em Pa se }p\text{ em N/m}^2).}

Exercícios relacionados