1. A viga engastada abaixo está submetida a uma carga uniformemente distribuída de 3,6 \mathrm{kN} / \mathrm{m} em toda sua extensão. Qual a tensão normal máxima (em MPa) devido à flexão, na fibra mais tracionada da viga?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações estão dadas (peguei estes valores da figura).
  • O que se pede: calcular a tensão normal máxima, em MPa, devido à flexão, na fibra mais tracionada da viga.
  • Informações fornecidas (retiradas da imagem):
    • Carga uniformemente distribuída: w=3,6\\ \mathrm{kN/m}.
    • Comprimento da viga (cantilever): L=2\\ \mathrm{m}.
    • Seção transversal retangular (ver figura): largura b=6\\ \mathrm{cm} e altura h=12\\ \mathrm{cm}.
    • A viga está engastada em uma extremidade (apoio à esquerda) e carregada para baixo ao longo de todo o vão.
  • Observação do que será calculado: achar o momento fletor máximo (no engaste) e aplicar a fórmula da tensão por flexão \sigma=\dfrac{M}{S}, onde S é o módulo resistente da seção.

Passo 2

Determinar onde ocorre o momento fletor máximo e a expressão do momento para uma viga engastada com carga uniformemente distribuída.
  • Em uma viga engastada (cantilever) com carga distribuída w ao longo de todo o vão de comprimento L, o momento fletor em função da posição x (medida a partir do engaste, x=0 no engaste) é obtido por integração das equações de equilíbrio. Uma forma direta (fórmula padrão) é:
M(x)=-\frac{w\,(L-x)^{2}}{2}.
  • A magnitude máxima do momento ocorre no engaste ( x=0). Portanto o módulo do momento fletor máximo é
M_{\max}=\frac{w\,L^{2}}{2}.
  • Observação rápida sobre o sinal: o resultado negativo indica sentido (hogging), mas para calcular tensão usamos o módulo do momento.

Passo 3

Calcular numericamente o momento fletor máximo com os valores da imagem.
  • Substituindo \;w=3,6\\ \mathrm{kN/m} e \;L=2\\ \mathrm{m}:
M_{\max}=\frac{w\,L^{2}}{2}=\frac{3{,}6\cdot 2^{2}}{2}=7{,}2\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Converter para unidades compatíveis com mm (úteis para tensão em MPa): 1\\ \mathrm{kN}=10^{3}\\ \mathrm{N} e 1\\ \mathrm{m}=10^{3}\\ \mathrm{mm}, então
M_{\max}=7{,}2\\ \mathrm{kN\cdot m}=7{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{N}\cdot 1\\ \mathrm{m}=7{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 4

Calcular o módulo resistente S da seção retangular (aqui explico as fórmulas e o porquê).
  • Fórmula do momento de inércia (em relação ao eixo neutro horizontal) para retângulo:
I=\frac{b\,h^{3}}{12},
onde b é a largura da base e h é a altura (profundidade) da seção. Explicação: I mede a “resistência geométrica” da seção à curvatura; quanto maior I, menor será a tensão para um mesmo momento.
  • A fibra mais afastada do eixo neutro está à distância
c=\frac{h}{2}.
  • O módulo resistente à flexão é definido por
S=\frac{I}{c}.
  • Substituindo I e c para o retângulo obtemos a forma prática
S=\frac{b\,h^{2}}{6}.
  • Converter as dimensões da seção para mm (para combinar com M em \mathrm{N\cdot mm}):
b=6\\ \mathrm{cm}=60\\ \mathrm{mm},\qquad h=12\\ \mathrm{cm}=120\\ \mathrm{mm}.
  • Calcular S:
S=\frac{b\,h^{2}}{6}=\frac{60\cdot(120)^{2}}{6}=\frac{60\cdot 14400}{6}=10\cdot14400=144000\\ \mathrm{mm^{3}}.

Passo 5

Calcular a tensão máxima de flexão usando \sigma_{\max}=\dfrac{M_{\max}}{S} e interpretar o resultado.
  • Aplicando a fórmula:
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}=\frac{7{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}}{144000\\ \mathrm{mm^{3}}}.
  • Efetuando a divisão:
\sigma_{\max}=\frac{7{,}2\times10^{6}}{1{,}44\times10^{5}}=50\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • Lembrete de unidades: 1\\ \mathrm{N/mm^{2}}=1\\ \mathrm{MPa}. Logo
\sigma_{\max}=50\\ \mathrm{MPa}.
  • Observação sobre qual fibra é tracionada: com carga para baixo ao longo do vão, a fibra mais tracionada na região do engaste é a fibra inferior (a que fica em tensão).

Passo 6

Recapitulando de forma motivadora: foi calculado o momento máximo no engaste, obtido o módulo resistente da seção retangular convertendo tudo para unidades coerentes e aplicado a fórmula clássica da flexão. Dá para aplicar esse mesmo procedimento a qualquer viga: 1) achar M_{\max}, 2) calcular S, 3) \sigma_{\max}=M_{\max}/S. Boa — já era!

Resposta

50\\ \mathrm{MPa}

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