Dados números inteiros positivos
e
, considere
e
. Determine as possibilidades para
e
, sabendo-se que
tem exatamente 18 divisores positivos e
exatamente 12 divisores positivos.
Passo 1
O enunciado dá
– com exatamente 18 divisores,
– com exatamente 12 divisores,
– .
Vamos usar os fatos
,
,
e
.
–
–
–
Vamos usar os fatos
e
Passo 2
Da condição
obtemos
Logo
e
,
, com pelo menos um entre
igual a 2, um entre
igual a 1, e um entre
igual a 1.
Passo 3
Para
,
e
Os únicos fatores inteiros
de 18 em três parcelas são
(e permutações). Como
implica
, devemos ter
, ou seja
. Os outros dois fatores
e
vão para
e
, gerando as duas possibilidades:
ou seja
ou
.
Passo 4
Para
,
e
Os fatores inteiros
de 12 em três parcelas são
(e permutações). Como
dá
, só cabe
, isto é
. E então
, logo
.
Passo 5
Verificamos as condições de mínimo:
,
(válido em ambos os casos
ou
),
.
Todas as restrições são satisfeitas.
Todas as restrições são satisfeitas.
Passo 6
Calculamos os valores numéricos de
e
.
Para :
Para
Para
:
Em ambos os casos
Resposta
As possibilidades são
(a) ,
(b) ,
.
(a)
(b)