Determine as soluções inteiras das equações abaixo:
40 x+65 y=135.

Passo 1

O enunciado pede as soluções inteiras da equação diofantina linear
40x + 65y = 135.
Para isso, vamos (1) calcular \gcd(40,65), (2) verificar se esse divisor comum divide 135, (3) encontrar uma solução particular e (4) obter a solução geral usando o parâmetro inteiro.

Passo 2

Calculamos \gcd(40,65) pelo Algoritmo de Euclides:
65 = 40 \cdot 1 + 25
40 = 25 \cdot 1 + 15
25 = 15 \cdot 1 + 10
15 = 10 \cdot 1 + 5
10 = 5 \cdot 2 + 0
Logo, \gcd(40,65)=5. Como 5 divide 135 (pois 135/5=27), a equação tem solução inteira. Dividindo tudo por 5, obtemos a forma reduzida
8x + 13y = 27.

Passo 3

Para achar uma solução particular de
8x + 13y = 27
resolvemos modulo 13:
8x \equiv 27 \equiv 1 \pmod{13}.
O inverso de 8 módulo 13 é 5, pois 8\cdot5=40\equiv1. Logo
x \equiv 5 \pmod{13},
podemos tomar x_0=5. Substituindo na equação,
8\cdot5 + 13y_0 =27 \quad\Longrightarrow\quad 40 + 13y_0 =27 \quad\Longrightarrow\quad 13y_0 = -13 \quad\Longrightarrow\quad y_0 = -1.

Passo 4

A solução geral da equação original usa o parâmetro t\in\mathbb{Z}. Como dividimos por 5, os coeficientes para o parâmetro são 13 em x e -8 em y. Assim
x = x_0 + 13t = 5 + 13t,
y = y_0 - 8t = -1 - 8t,
com t\in\mathbb{Z}.

Resposta

As soluções inteiras de 40x+65y=135 são
x = 5 + 13t,\quad y = -1 - 8t,\quad t\in\mathbb{Z}.

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