Dados os números reais 
 , o conjunto de vetores 
  
  tais que 
 , é um subespaço vetorial de 
  ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou se o conjunto de vetores 
  que satisfazem a equação 
  é um subespaço vetorial de 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se o nosso conjunto atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de 
  precisa satisfazer três propriedades principais:
- Contém o vetor zero: O vetor onde todos os componentes são zero deve pertencer ao conjunto.
 - Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
 - Fechado para multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
 
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso conjunto.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em  é 
 . Vamos ver se ele satisfaz a equação 
 .
O vetor zero em
Isso simplifica para 
 .
Para o vetor zero pertencer ao conjunto, essa igualdade precisa ser verdadeira. Ou seja, 
  deve ser igual a zero.
Passo 4
2. Fechado para adição:
Vamos supor que temos dois vetores  e 
  que pertencem ao conjunto. Isso significa que:
Vamos supor que temos dois vetores
Vamos somar esses dois resultados:
Então, para que a soma 
  esteja no conjunto, precisamos que 
 , o que só é verdade se 
 .
Passo 5
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor  no conjunto e multiplicá-lo por um escalar 
 . A equação fica:
Vamos pegar um vetor
Para que 
  esteja no conjunto, precisamos que 
 . Isso só acontece se 
  ou 
 . Como 
  pode ser qualquer número real, a única maneira de isso ser verdade para todos os 
  é que 
 .
Resposta
Então, o conjunto de vetores 
  que satisfazem 
  é um subespaço vetorial de 
  se e somente se 
 . Se 
  for diferente de zero, o conjunto não atende às propriedades necessárias para ser um subespaço.