Dado um espaço vetorial 
  e dois subespaços vetoriais 
  e 
  de 
 , definimos o conjunto 
  como sendo o conjunto formado por todos os elementos da forma 
 , sendo 
  e 
 . Mostre que 
  é um subespaço vetorial de 
 . No caso em que 
  (elemento neutro da adição em 
  ), então dizemos que a soma de 
  com 
  é uma soma direta desses subespaços e a denotamos por 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais e subespaços. A gente tem um espaço vetorial 
  e dois subespaços dele, 
  e 
 . Queremos mostrar que o conjunto 
 , que é todo mundo que pode ser escrito como 
  onde 
  está em 
  e 
  está em 
 , também é um subespaço de 
 . Além disso, se a interseção de 
  e 
  é apenas o vetor zero, a gente chama essa soma de direta, denotada por 
 . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaços vetoriais e as propriedades que eles precisam satisfazer.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que 
  é um subespaço de 
 , a gente precisa verificar três propriedades fundamentais dos subespaços:
- Contém o vetor zero: Todo subespaço precisa ter o vetor zero.
 - Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos de 
, a soma deles também precisa estar em .  - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um elemento de 
e multiplicar por um escalar, o resultado também precisa estar em .  
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Sabemos que 
  e 
  são subespaços de 
 , então ambos contêm o vetor zero de 
 . Ou seja, 
  e 
 .
Então, se a gente soma 
  de 
  com 
  de 
 :
Isso mostra que o vetor zero está em 
 , já que 
  pertence a 
 .
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de 
 . Suponha que temos 
  e 
 , onde 
  e 
 .
Agora, somando 
  e 
 :
Como 
  é um subespaço, a soma 
  está em 
 . Da mesma forma, 
  está em 
 .
Portanto, 
  também está em 
 , mostrando que 
  é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um elemento 
  em 
 , onde 
  e 
 , e um escalar 
 .
Multiplicando 
  por 
 :
Como 
  é um subespaço, 
  está em 
 . E 
  está em 
  porque 
  também é um subespaço.
Assim, 
  está em 
 , mostrando que 
  é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão das propriedades:
Como verificamos que 
  contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que 
  é realmente um subespaço vetorial de 
 .
Passo 7
Soma direta (
 ):
Agora, vamos considerar o caso especial onde a interseção de 
  e 
  é apenas o vetor zero, ou seja, 
 .
Nesse caso, se tivermos 
  igual a zero, isso implica que 
 . Mas como 
  está em 
  e 
  está em 
 , e a única solução para isso é 
 , isso significa que cada elemento de 
  pode ser escrito de maneira única como a soma de um elemento de 
  e um de 
 .
Por isso, dizemos que a soma é direta e escrevemos 
 .
Resposta
Assim, mostramos que 
  é um subespaço vetorial de 
 . Além disso, quando 
 , a soma é direta, denotada por 
 .