Dados os pontos A=(3,-2) e B=(-1,5) e sejam os vetores \vec{u}=(-2,3) e \vec{v}=(-1,-3).
Calcule:
a distância entre os pontos A e B

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos e vetores abaixo:
  • A=(3,-2).
  • B=(-1,5).
  • \vec{u}=(-2,3) (informação dada, não necessária para a distância entre A e B).
  • \vec{v}=(-1,-3) (informação dada, também não necessária aqui).
O que a questão pede:
  • Calcular a distância entre os pontos A e B.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para distância entre dois pontos no plano. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras: se construímos o triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças das coordenadas, a hipotenusa é a distância entre os pontos. A fórmula é
d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},
onde x_A,y_A são as coordenadas do ponto A e x_B,y_B são as de B. Aqui:
  • x_A é a coordenada x de A.
  • y_A é a coordenada y de A.
  • x_B é a coordenada x de B.
  • y_B é a coordenada y de B.

Passo 3

Calcular as diferenças das coordenadas (os catetos do triângulo):
x_B-x_A = -1 - 3 = -4,
y_B-y_A = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7.

Passo 4

Elevar essas diferenças ao quadrado (lembrando que o quadrado de um número negativo fica positivo):
(-4)^2 = 16,
7^2 = 49.

Passo 5

Somar os quadrados e tirar a raiz quadrada para obter a distância:
16 + 49 = 65,
d(A,B)=\sqrt{65}.
Se quiser uma aproximação decimal rápida, \sqrt{65}\approx 8{,}062, mas o valor exato mais elegante é \sqrt{65}.

Resposta

\sqrt{65}

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