Dados os pontos no espaço a seguir, verifique cada uma das informações fornecidas:
P=(2,-4,6), Q=(-3,0,3) e R=(0,8,-6)
É verdade que |O Q|<|O P|<|O R| ?
Dica:
  • Considere p sendo o vetor O P, q=O Q e r=O R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . A pergunta é para verificar se a seguinte desigualdade é verdadeira: .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e como calcular o módulo (ou comprimento) de um vetor. Vamos calcular o módulo de cada vetor , e e comparar os valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um vetor no espaço tridimensional. Se tivermos um vetor |V| = raizx^2 + y^2 + z^2 , o módulo é dado pela fórmula:
Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos vetores dados.

Passo 3

Vamos começar com O P = (2, -4, 6) . O ponto |O P| = raiz2^2 + (-4)^2 + 6^2 = raiz4 + 16 + 36 = raiz56 approx 7,48 tem coordenadas , então:
Calculando o módulo:

Passo 4

Agora, vamos para O Q = (-3, 0, 3) . O ponto |O Q| = raiz(-3)^2 + 0^2 + 3^2 = raiz9 + 0 + 9 = raiz18 approx 4,24 tem coordenadas , então:
Calculando o módulo:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o módulo de O R = (0, 8, -6) . O ponto |O R| = raiz0^2 + 8^2 + (-6)^2 = raiz0 + 64 + 36 = raiz100 = 10 tem coordenadas , então:
Calculando o módulo:

Resposta

Após os cálculos, temos:
|O Q| approx 4,24 < |O P| approx 7,48 < |O R| = 10
Portanto, a afirmação é verdadeira.

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