Dados os pontos \mathrm{A}(3,-4) e \mathrm{B}(-1,1) e o vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-2,3), calcular
\mathrm{B}+2(\mathrm{~B}-\mathrm{A})

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • O ponto \mathrm{A} com coordenadas \mathrm{A}\bigl(3,-4\bigr).
  • O ponto \mathrm{B} com coordenadas \mathrm{B}\bigl(-1,1\bigr).
  • O vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=\bigl(-2,3\bigr) (fornecido, mas não é necessário para a operação pedida).
    O que se pede calcular é o vetor (ou ponto) \mathrm{B}+2\bigl(\mathrm{B}-\mathrm{A}\bigr).

Passo 2

Relembrando as regras básicas de operações com coordenadas (isso é crucial para fazer na prova sem errar):
  • Se u=(u_1,u_2) e w=(w_1,w_2), então a soma é
u+w=(u_1+w_1,\;u_2+w_2).
  • Se c é um número real, a multiplicação por escalar é
c\cdot u=(c\,u_1,\;c\,u_2).
  • A subtração é um caso de soma: u-w=(u_1-w_1,\;u_2-w_2).
    Essas regras significam que fazemos as contas coordenada a coordenada (x com x, y com y). Vou aplicar exatamente isso passo a passo.

Passo 3

Calcular primeiro \mathrm{B}-\mathrm{A}. Usando as coordenadas:
\mathrm{B}-\mathrm{A}=\bigl(-1,1\bigr)-\bigl(3,-4\bigr).
Subtraindo coordenada a coordenada:
  • Coordenada x: -1-3=-4.
  • Coordenada y: 1-(-4)=1+4=5.
    Portanto
\mathrm{B}-\mathrm{A}=\bigl(-4,5\bigr).

Passo 4

Agora multiplicar por 2:
2\bigl(\mathrm{B}-\mathrm{A}\bigr)=2\cdot\bigl(-4,5\bigr).
Multiplicando cada coordenada por 2:
  • Coordenada x: 2\cdot(-4)=-8.
  • Coordenada y: 2\cdot5=10.
    Portanto
2\bigl(\mathrm{B}-\mathrm{A}\bigr)=\bigl(-8,10\bigr).

Passo 5

Somar o resultado com \mathrm{B}:
\mathrm{B}+2\bigl(\mathrm{B}-\mathrm{A}\bigr)=\bigl(-1,1\bigr)+\bigl(-8,10\bigr).
Somando coordenada a coordenada:
  • Coordenada x: -1+(-8)=-9.
  • Coordenada y: 1+10=11.
    Logo
\mathrm{B}+2\bigl(\mathrm{B}-\mathrm{A}\bigr)=\bigl(-9,11\bigr).

Passo 6

Checagem alternativa (é útil para provas): usar linearidade para reescrever a expressão
\mathrm{B}+2\bigl(\mathrm{B}-\mathrm{A}\bigr)=\mathrm{B}+2\mathrm{B}-2\mathrm{A}=3\mathrm{B}-2\mathrm{A}.
Calculando com coordenadas:
3\mathrm{B}-2\mathrm{A}=3\cdot\bigl(-1,1\bigr)-2\cdot\bigl(3,-4\bigr)=\bigl(-3,3\bigr)-\bigl(6,-8\bigr)=\bigl(-9,11\bigr),
confirmando o resultado anterior. Sempre bom conferir com uma reescrita algébrica curta se der tempo na prova.

Resposta

\bigl(-9,11\bigr)

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