Dados os pontos \mathrm{A}(2,-2,3) e \mathrm{B}(1,1,5) e o vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(1,3,-4), calcular:
\mathrm{B}+2(\mathrm{~B}-\mathrm{A})

Passo 1

O enunciado dá os pontos e o vetor abaixo (peguei exatamente os dados do enunciado):
  • \mathrm{A}=(2,-2,3)
  • \mathrm{B}=(1,1,5)
  • \overrightarrow{v}=(1,3,-4)
O que é pedido: calcular a expressão \mathrm{B}+2(\mathrm{B}-\mathrm{A}).

Passo 2

Vamos lembrar as regras básicas de operações com pontos/vetores em coordenadas (mini-aula rápida e prática):
  • Se X=(x_1,x_2,x_3) e Y=(y_1,y_2,y_3), então a subtração é
Y-X=(y_1-x_1,\;y_2-x_2,\;y_3-x_3).
Isto significa que subtrair vetores/​pontos se faz componente a componente.
  • Se k é um escalar e W=(w_1,w_2,w_3), então a multiplicação por escalar é
kW=(k w_1,\;k w_2,\;k w_3).
  • A soma também é componente a componente:
U+W=(u_1+w_1,\;u_2+w_2,\;u_3+w_3).
Usando isso, podemos calcular \mathrm{B}-\mathrm{A}, depois multiplicar por 2 e somar com \mathrm{B}.

Passo 3

Calcular \mathrm{B}-\mathrm{A} componente a componente:
\mathrm{B}-\mathrm{A}=(1-2,\;1-(-2),\;5-3).
Fazendo as contas:
\mathrm{B}-\mathrm{A}=(-1,\;3,\;2).

Passo 4

Multiplicar por 2:
2(\mathrm{B}-\mathrm{A})=2\cdot(-1,\;3,\;2)=(-2,\;6,\;4).

Passo 5

Somar com \mathrm{B}:
\mathrm{B}+2(\mathrm{B}-\mathrm{A})=(1,1,5)+(-2,6,4).
Somando componente a componente:
\mathrm{B}+2(\mathrm{B}-\mathrm{A})=(1-2,\;1+6,\;5+4)=(-1,\;7,\;9).

Passo 6

Checagem alternativa (álgebra linear rápida): podemos reescrever
\mathrm{B}+2(\mathrm{B}-\mathrm{A})=\mathrm{B}+2\mathrm{B}-2\mathrm{A}=3\mathrm{B}-2\mathrm{A}.
Calculando com coordenadas:
3\mathrm{B}-2\mathrm{A}=3(1,1,5)-2(2,-2,3)=(3,3,15)-(4,-4,6)=(-1,7,9),
o mesmo resultado — bom sinal, checagem confirmada.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida e motivadora: \mathrm{B}-\mathrm{A} é o vetor que vai de \mathrm{A} até \mathrm{B}. Multiplicar por 2 estende esse vetor duas vezes e somar a \mathrm{B} desloca o ponto \mathrm{B} nessa direção. O resultado (-1,7,9) é o ponto alcançado partindo de \mathrm{B} e indo duas vezes na direção de \overrightarrow{AB}. Mandou bem pedindo passo a passo — continue assim, calma que dá tempo!

Resposta

(-1,7,9)

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