Dados os pontos \mathrm{A}(2,-2,3) e \mathrm{B}(1,1,5) e o vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(1,3,-4), calcular:
\mathrm{A}+3 \overrightarrow{\mathrm{v}}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Ponto \mathrm{A}(2,-2,3).
  • Ponto \mathrm{B}(1,1,5) (não será necessário aqui, mas está no enunciado).
  • Vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(1,3,-4).
O que se pede:
  • Calcular \mathrm{A}+3\overrightarrow{\mathrm{v}}.

Passo 2

Primeiro vamos entender rigorosamente o que significa cada operação (aqui mastigadinho para a prova):
  • Interpretação de ponto como vetor posição: o ponto \mathrm{A}(2,-2,3) pode ser visto como o vetor posição \vec{A}=(2,-2,3) (o vetor que vai da origem até A). Em prova isso é padrão: coordenadas do ponto = componentes do vetor posição.
  • Multiplicação escalar por vetor: para um escalar \lambda e um vetor (x,y,z),
\lambda(x,y,z)=(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z).
Exemplo rápido: 2(1,2,3)=(2,4,6). É só multiplicar cada coordenada pelo escalar.
  • Soma de vetores: para (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2),
(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Exemplo rápido: (1,2,3)+(4,-1,0)=(5,1,3).
Agora aplicamos essas definições ao problema.

Passo 3

Calcular 3\overrightarrow{\mathrm{v}}. Usando multiplicação escalar componente a componente:
3\overrightarrow{\mathrm{v}}=3(1,3,-4)=(3\cdot1,\;3\cdot3,\;3\cdot(-4))=(3,\;9,\;-12).

Passo 4

Somar o vetor posição de \mathrm{A} com 3\overrightarrow{\mathrm{v}} componente a componente:
\mathrm{A}+3\overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,-2,3)+(3,9,-12).
Agora somar cada coordenada:
(2+3,\;-2+9,\;3+(-12))=(5,\;7,\;-9).

Passo 5

Interpretação final (rápida e útil para a prova): o resultado (5,7,-9) é o vetor posição do ponto que se obtém saindo de \mathrm{A} e percorrendo três vezes a direção e sentido do vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}. É também a soma de vetores feita componente a componente, como fizemos.

Resposta

\mathrm{A}+3\overrightarrow{\mathrm{v}}=(5,7,-9)

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