Dados os pontos a seguir, encontre a equação da reta por cada par de pontos e ache o ângulo que cada uma faz com o eixo y.
(g) (-1,-2) e (1,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (-1, -2) e (1, 5), e também descobrir qual é o ângulo que essa reta forma com o eixo y. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e ângulos entre retas e eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos. A fórmula que usamos é a equação geral da reta na forma:
y = mx + b
onde m é o coeficiente angular (inclinação da reta) e b é o coeficiente linear (ponto onde a reta intercepta o eixo y).

Passo 3

Para achar o coeficiente angular m, usamos a fórmula:
m = y2 - y1x2 - x1
Vamos substituir os valores dos pontos dados:
m = 5 - (-2)1 - (-1) = 72 = 3,5

Passo 4

Agora que temos m = 3,5, vamos encontrar o coeficiente linear b. Podemos usar um dos pontos para isso. Vamos usar o ponto (-1, -2):
-2 = 3,5 times (-1) + b
-2 = -3,5 + b
b = -2 + 3,5 = 1,5

Passo 5

Com m = 3,5 e b = 1,5, a equação da reta fica:
y = 3,5x + 1,5

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo que essa reta faz com o eixo y. Primeiro, lembramos que o ângulo theta entre a reta e o eixo y está relacionado com o coeficiente angular m pela fórmula:
tan(theta) = 1m
Isso porque o eixo y tem inclinação infinita, e para encontrar o ângulo, usamos o inverso do coeficiente angular.

Passo 7

Vamos calcular theta usando a tangente inversa:
theta = arctan(13,5)
Usando uma calculadora:
theta approx arctan(0,2857) approx 15,9^circ

Resposta

A equação da reta que passa pelos pontos (-1, -2) e (1, 5) é:
y = 3,5x + 1,5
E o ângulo que essa reta forma com o eixo y é aproximadamente 15,9^circ.

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