1. Dados os seguintes sistemas de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem quais são equivalentes a dois sistemas de 1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem e quais não são?
    c) \quad \mathrm{G}(\mathrm{s})=1 /\left(\mathrm{s}^{\wedge} 2+5\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (claro e direto).
  • Dado: a função de transferência \displaystyle G(s)=\frac{1}{s^{2}+5}.
  • Pergunta: determinar se este sistema de ordem 2 é equivalente a dois sistemas de ordem 1.
    Observação: o enunciado não especifica se a equivalência deve ser feita por cascata de duas funções de transferência de 1ª ordem com coeficientes reais ou por escrita em espaço de estados (duas EDOs de 1ª ordem acopladas). Vou tratar as duas interpretações, porque são conceitos diferentes e ambos são importantes para provas.

Passo 2

Explicando o que significa “equivalente a dois sistemas de 1ª ordem” (duas interpretações).
  • Interpretação A (comum em controle): equivalente a cascata de duas funções de transferência de 1ª ordem com coeficientes reais; isto é, procurar G_1(s) e G_2(s) com
G(s)=G_1(s)\,G_2(s),
onde cada G_i(s) tem a forma \dfrac{K_i}{s+a_i} com a_i real.
  • Interpretação B (estado-espaço/ODE): equivalente a um sistema formado por duas equações diferenciais de 1ª ordem acopladas (um sistema de dimensão 2 em espaço de estados). Qualquer EDO linear de 2ª ordem pode ser reescrita como duas EDOs de 1ª ordem acopladas, isso é padrão.
Vou mostrar as condições para cada interpretação e aplicar ao caso.

Passo 3

Critério para a Interpretação A (cascata de dois 1º-ordem reais).
  • Se \displaystyle G(s)=\frac{1}{s^{2}+5} for escrita como produto de dois termos lineares reais no denominador, precisaríamos de
s^{2}+5=(s+a)(s+b)=s^{2}+(a+b)s+ab,
com a,b reais. Comparando coeficientes obtemos
a+b=0,\qquad ab=5.
  • Essas duas equações implicam b=-a e então ab=-a^{2}=5\Rightarrow a^{2}=-5, que não tem solução real. Logo não é possível fatorar s^{2}+5 em fatores lineares reais.

Passo 4

Interpretação A — conclusão e explicação física/controle.
  • Como s^{2}+5 não se fatoriza em (s+a)(s+b) com a,b reais, não existe decomposição em cascata de duas funções de transferência de 1ª ordem com coeficientes reais que reproduza exatamente G(s).
  • Em outras palavras: os polos de G(s) são s=\pm j\sqrt{5} (pares complexos puros). Para obter dois blocos de 1ª ordem reais em série era preciso polos reais. Portanto, sob a interpretação de cascata de blocos 1º-ordem reais, a resposta é: não é equivalente.

Passo 5

Comentário sobre possibilidade com polos complexos (caso alternativo).
  • Formalmente, se permitíssemos blocos de 1ª ordem com coeficientes complexos, podemos escrever
s^{2}+5=(s-j\sqrt{5})(s+j\sqrt{5}),
e então G(s) factoriza como produto de dois termos 1º-ordem complexos. Mas em engenharia prática, sistemas e blocos costumam ter coeficientes reais; blocos com coeficientes complexos não são usados isoladamente porque não representam sistemas físicos reais. Por isso essa decomposição não conta como “equivalente” na prática.

Passo 6

Interpretação B — representação por duas EDOs de 1ª ordem (espaço de estados).
  • Toda equação diferencial linear de ordem 2 pode ser reescrita como um sistema de duas EDOs de ordem 1 acopladas (forma canônica de estado). A partir de
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^{2}+5}
temos a EDO no domínio do tempo
y''(t)+5y(t)=u(t).
Escolhendo as variáveis de estado
x_1(t)=y(t),\qquad x_2(t)=y'(t),
obtemos o sistema de duas EDOs de 1ª ordem:
x_1'(t)=x_2(t),
x_2'(t)=-5x_1(t)+u(t).
Em forma matricial (estado-espaço):
\begin{pmatrix}x_1'\\[4pt]x_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-5 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}u(t),
e a saída y=x_1 (ou y=[1\\\ 0]x). Isto é uma representação por duas equações de 1ª ordem.]

Passo 7

Interpretação B — conclusão e comentário didático.
  • Portanto, sob a interpretação de escrever como um sistema de duas EDOs de 1ª ordem (estado-espaço), SIM: o sistema de 2ª ordem é equivalente a duas equações diferenciais de 1ª ordem acopladas (é exatamente o procedimento padrão).
  • Essa equivalência é diferente da de decompor em dois blocos univariados em cascata. Na prova, fique atento ao enunciado: normalmente quando se pergunta se um sistema de 2ª ordem “é equivalente a dois de 1ª ordem”, querem saber se consegue decompor em duas funções de 1ª ordem reais em série — aí a resposta é negativa para este caso.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (comparação).
  • Exemplo que SÍ se decompõe em cascata real: \displaystyle \frac{1}{(s+1)(s+2)}. Aqui o denominador já é produto de fatores lineares reais; portanto pode ser visto como cascata de \dfrac{1}{s+1} e \dfrac{1}{s+2}.
  • No nosso caso, \displaystyle \frac{1}{s^{2}+5} tem um quadrático irreduzível sobre os reais, logo não é desse tipo.

Resposta

Não é equivalente a dois sistemas de 1ª ordem em cascata com coeficientes reais (polos são s=\pm j\sqrt{5}, denominador irreduzível sobre \mathbb{R}).
Admite, porém, representação como um sistema de duas EDOs de 1ª ordem acopladas (estado-espaço): \;x_1'=x_2,\;x_2'=-5x_1+u,\;y=x_1.

Exercícios relacionados