1. Considere um sistema de 2 \underline{\underline{\mathrm{a}}} ordem com a seguinte função de transferência: G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^{2}+s+1}
Introduza um degrau de magnitude igual a 5 ao sistema e encontre: a) a porcentagem de sobre-elevação, b) a razão de decaimento, c) o valor máximo de \mathrm{y}(\mathrm{t}), d) o valor último de \mathrm{y}(\mathrm{t}), e) o tempo de subida, e f) o período de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência do sistema de segunda ordem e pede várias quantidades quando se aplica um degrau de magnitude 5. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Dados do enunciado:
  • Função de transferência: G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^{2}+s+1}.
  • Entrada: degrau de magnitude 5, isto é u(t)=5\cdot \mathbf{1}(t) com transformada U(s)=\dfrac{5}{s}.
O enunciado pede:
(a) a porcentagem de sobre-elevação (percent overshoot);
(b) a razão de decaimento (razão entre amplitudes de picos sucessivos);
(c) o valor máximo de y(t) (primeiro pico absoluto);
(d) o valor último de y(t) (valor em regime permanente);
(e) o tempo de subida (definição que vou usar: tempo em que a resposta atinge pela primeira vez o valor final, isto é 0%→100%);
(f) o período de oscilação (período da oscilação amortecida).

Passo 2

Colocar o polinômio característico na forma padrão de um sistema de segunda ordem e extrair \omega_n e \zeta.
Forma padrão de um sistema de segunda ordem em malha aberta (denominador): s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Comparando com s^{2}+s+1 obtemos:
\omega_{n}^{2}=1\quad\Rightarrow\quad\omega_{n}=1,
2\zeta\omega_{n}=1\quad\Rightarrow\quad 2\zeta\cdot 1=1\quad\Rightarrow\quad \zeta=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
Explicação rápida (didática): \omega_{n} é a frequência natural não amortecida (em rad/s) e \zeta é o fator de amortecimento adimensional. Eles definem comportamento oscilatório: se 0<\zeta<1 o sistema é subamortecido (oscila atenuando-se), como é o caso aqui ( \zeta=0{,}5).

Passo 3

Determinar o valor último (regime permanente) \lim_{t\to\infty} y(t) usando o teorema final ou ganho DC.
Ganho DC de G(s) é G(0)=\dfrac{1}{0+0+1}=1. Para um degrau de amplitude 5, o valor final é:
y(\infty)=G(0)\cdot 5 = 1\cdot 5 = 5.
Isto responde a pergunta (d). Observação: quando o ganho DC é 1, a saída tende ao mesmo valor do degrau.

Passo 4

Calcular a porcentagem de sobre-elevação (percent overshoot) M_p.
Fórmula clássica (para sistemas subamortecidos) da porcentagem de sobre-elevação em resposta a degrau unitário:
M_p = e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Aqui M_p é fração (por ex. 0{,}16 corresponde a 16\%). Explicando a fórmula: ela vem da expressão do pico máximo do termo oscilatório amortecido; a razão \dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} controla quanto o expoente amortece a primeira oscilação até o pico.
Substituindo \zeta=0{,}5:
\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-0{,}25}=\sqrt{0{,}75}=0{,}8660254038\ldots
-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=-\dfrac{0{,}5\pi}{0{,}8660254038}\approx -1{,}8137993642.
M_p = e^{-1{,}8137993642}\approx 0{,}163746148,
ou seja, em porcentagem:
\text{Percent overshoot} = 100\cdot M_p \approx 16{,}3746\%.

Passo 5

Calcular o valor máximo y_{\max} (primeiro pico) usando y(\infty) e M_p.
A definição: o pico máximo vale y_{\max}=y(\infty)\cdot (1+M_p). Já sabemos y(\infty)=5 e M_p\approx 0{,}163746148, então:
y_{\max}=5\cdot(1+0{,}163746148)=5\cdot 1{,}163746148\approx 5{,}818730741.
Como verificação alternativa (mais técnica): o pico ocorre no tempo t_p=\dfrac{\pi}{\omega_{d}} (veremos \omega_d no passo seguinte) e avaliando a expressão analítica de y(t) obtém-se o mesmo valor numérico.

Passo 6

Calcular a razão de decaimento entre picos sucessivos (razão A_{k+1}/A_k) e explicar.
Primeiro achar a frequência amortecida \omega_{d}:
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=1\cdot 0{,}8660254038\ldots =0{,}8660254038\\ \text{rad/s}.
O período da oscilação amortecida (que responde à parte (f)) é:
T_{d}=\frac{2\pi}{\omega_{d}}=\frac{2\pi}{0{,}8660254038}\approx 7{,}255197455\\ \text{s}.
Agora a razão de decaimento entre picos sucessivos (ou seja A_{k+1}/A_k) é dada por:
\frac{A_{k+1}}{A_k}=e^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Às vezes define-se o logaritmo disso como decremento logarítmico \delta=2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Calculando:
\delta=\frac{2\pi\cdot 0{,}5}{0{,}8660254038}\approx 3{,}6275987285,
\frac{A_{k+1}}{A_k}=e^{-\delta}=e^{-3{,}6275987285}\approx 0{,}0268117.
Explicação intuitiva: cada pico sucessivo tem cerca de 2{,}68\% da amplitude do pico anterior — ou seja, as oscilações decaem muito rapidamente neste sistema.

Passo 7

Calcular o tempo de subida t_r (definição usada: tempo para alcançar pela primeira vez o valor final).
Para sistemas subamortecidos, o tempo em que a resposta unitária atinge pela primeira vez o valor final (0%→100%) é
t_{r}=\frac{\pi-\varphi}{\omega_{d}},
onde \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta) (ou equivalentemente \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\zeta}\big)). Derivação curta: o termo oscilatório pode ser escrito como A e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t+\varphi); zerando esse seno obtém o instante da primeira vez que o efeito transitório se anula e a saída atinge o valor final.
Calculemos \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}5)=\tfrac{\pi}{3}=1{,}0471975512\\ \text{rad}. Então:
t_{r}=\frac{\pi-\tfrac{\pi}{3}}{0{,}8660254038}=\frac{2\pi/3}{0{,}8660254038}\approx \frac{2{,}0943951024}{0{,}8660254038}\approx 2{,}418399.
Portanto o tempo de subida adotado é t_{r}\approx 2{,}4184\\ \text{s}.
Observação: se o professor exigir a definição 10%–90% para tempo de subida, o valor numérico seria diferente; aqui usei a definição clássica (0→100%) que é simples de obter analiticamente.

Passo 8

Calcular o período de oscilação (resposta à parte (f)) e o tempo até o pico (tempo do máximo).
Já calculámos \omega_{d}=0{,}8660254038\\ \text{rad/s}. O período de oscilação amortecida é
T_{d}=\frac{2\pi}{\omega_{d}}\approx 7{,}255197455\\ \text{s}.
O tempo até o primeiro pico (tempo de pico) é metade do período:
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}\approx 3{,}6275987285\\ \text{s},
e nesse instante ocorre o valor máximo y_{\max} calculado no Passo 5.

Passo 9

Resumo final numérico (valores arredondados de forma prática para prova) e observações rápidas.
Valores numéricos úteis (truncando/arreondando com cuidado):
  • \omega_n=1\\ \text{rad/s}, \zeta=0{,}5, \omega_d\approx 0{,}8660254\\ \text{rad/s}.
  • Percent overshoot \approx 16{,}37\%.
  • Razão de decaimento entre picos sucessivos \approx 0{,}0268 (cada pico ~2,68% do anterior).
  • Valor máximo y_{\max}\approx 5{,}818730741.
  • Valor último y(\infty)=5.
  • Tempo de subida (0→100%) t_{r}\approx 2{,}4184\\ \text{s}.
  • Período de oscilação T_{d}\approx 7{,}2552\\ \text{s}.

Resposta

(a) 16{,}3746\%
(b) 0{,}02681
(c) y_{\max}\approx 5{,}818730741
(d) y(\infty)=5
(e) t_{r}\approx 2{,}4184\\ \text{s}
(f) T_{d}\approx 7{,}255197455\\ \text{s}

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