- Considere um sistema de
ordem com a seguinte função de transferência:
Introduza um degrau de magnitude igual a 5 ao sistema e encontre: a) a porcentagem de sobre-elevação, b) a razão de decaimento, c) o valor máximo de
, d) o valor último de
, e) o tempo de subida, e f) o período de oscilação.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema de segunda ordem e pede várias quantidades quando se aplica um degrau de magnitude
. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Dados do enunciado:
- Função de transferência:
- Entrada: degrau de magnitude
, isto é com transformada .
O enunciado pede:
(a) a porcentagem de sobre-elevação (percent overshoot);
(b) a razão de decaimento (razão entre amplitudes de picos sucessivos);
(c) o valor máximo de (primeiro pico absoluto);
(d) o valor último de (valor em regime permanente);
(e) o tempo de subida (definição que vou usar: tempo em que a resposta atinge pela primeira vez o valor final, isto é 0%→100%);
(f) o período de oscilação (período da oscilação amortecida).
(a) a porcentagem de sobre-elevação (percent overshoot);
(b) a razão de decaimento (razão entre amplitudes de picos sucessivos);
(c) o valor máximo de
(d) o valor último de
(e) o tempo de subida (definição que vou usar: tempo em que a resposta atinge pela primeira vez o valor final, isto é 0%→100%);
(f) o período de oscilação (período da oscilação amortecida).
Passo 2
Colocar o polinômio característico na forma padrão de um sistema de segunda ordem e extrair
e
.
Forma padrão de um sistema de segunda ordem em malha aberta (denominador):
Comparando com
obtemos:
Explicação rápida (didática):
é a frequência natural não amortecida (em rad/s) e
é o fator de amortecimento adimensional. Eles definem comportamento oscilatório: se
o sistema é subamortecido (oscila atenuando-se), como é o caso aqui (
).
Passo 3
Determinar o valor último (regime permanente)
usando o teorema final ou ganho DC.
Ganho DC de
é
. Para um degrau de amplitude
, o valor final é:
Isto responde a pergunta (d). Observação: quando o ganho DC é 1, a saída tende ao mesmo valor do degrau.
Passo 4
Calcular a porcentagem de sobre-elevação (percent overshoot)
.
Fórmula clássica (para sistemas subamortecidos) da porcentagem de sobre-elevação em resposta a degrau unitário:
Aqui
é fração (por ex.
corresponde a
). Explicando a fórmula: ela vem da expressão do pico máximo do termo oscilatório amortecido; a razão
controla quanto o expoente amortece a primeira oscilação até o pico.
Substituindo
:
ou seja, em porcentagem:
Passo 5
Calcular o valor máximo
(primeiro pico) usando
e
.
A definição: o pico máximo vale
. Já sabemos
e
, então:
Como verificação alternativa (mais técnica): o pico ocorre no tempo
(veremos
no passo seguinte) e avaliando a expressão analítica de
obtém-se o mesmo valor numérico.
Passo 6
Calcular a razão de decaimento entre picos sucessivos (razão
) e explicar.
Primeiro achar a frequência amortecida
:
O período da oscilação amortecida (que responde à parte (f)) é:
Agora a razão de decaimento entre picos sucessivos (ou seja
) é dada por:
Às vezes define-se o logaritmo disso como decremento logarítmico
.
Calculando:
Explicação intuitiva: cada pico sucessivo tem cerca de
da amplitude do pico anterior — ou seja, as oscilações decaem muito rapidamente neste sistema.
Passo 7
Calcular o tempo de subida
(definição usada: tempo para alcançar pela primeira vez o valor final).
Para sistemas subamortecidos, o tempo em que a resposta unitária atinge pela primeira vez o valor final (0%→100%) é
onde
(ou equivalentemente
). Derivação curta: o termo oscilatório pode ser escrito como
; zerando esse seno obtém o instante da primeira vez que o efeito transitório se anula e a saída atinge o valor final.
Calculemos
. Então:
Portanto o tempo de subida adotado é
.
Observação: se o professor exigir a definição 10%–90% para tempo de subida, o valor numérico seria diferente; aqui usei a definição clássica (0→100%) que é simples de obter analiticamente.
Passo 8
Calcular o período de oscilação (resposta à parte (f)) e o tempo até o pico (tempo do máximo).
Já calculámos
. O período de oscilação amortecida é
O tempo até o primeiro pico (tempo de pico) é metade do período:
e nesse instante ocorre o valor máximo
calculado no Passo 5.
Passo 9
Resumo final numérico (valores arredondados de forma prática para prova) e observações rápidas.
Valores numéricos úteis (truncando/arreondando com cuidado):
-
, , . - Percent overshoot
. - Razão de decaimento entre picos sucessivos
(cada pico ~2,68% do anterior). - Valor máximo
. - Valor último
. - Tempo de subida (0→100%)
. - Período de oscilação
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)