Os dados a seguir correspondem à variável renda familiar e gasto com alimentação (em unidades monetárias) para uma amostra de 25 famílias.
| Renda Familiar (X) | Gasto com Alimentação (Y) |
|---|---|
| 3 | 1,5 |
| 5 | 2,0 |
| 10 | 6,0 |
| 10 | 7,0 |
| 20 | 10,0 |
| 20 | 12,0 |
| 20 | 15,0 |
| 30 | 8,0 |
| 40 | 10,0 |
| 50 | 20,0 |
| 60 | 20,0 |
| 70 | 25,0 |
| 70 | 30,0 |
| 80 | 25,0 |
| 100 | 40,0 |
| 100 | 35,0 |
| 100 | 40,0 |
| 120 | 30,0 |
| 120 | 40,0 |
| 140 | 40,0 |
| 150 | 50,0 |
| 180 | 40,0 |
| 180 | 50,0 |
| 200 | 60,0 |
| 200 | 50,0 |
a) Construa o diagrama de dispersão da variável gasto com alimentação (Y) em função da renda familiar (X).
b) Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis.
c) Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação em função da renda familiar.
d) Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de regressão do item ©?
b) Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis.
c) Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação em função da renda familiar.
d) Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de regressão do item ©?
Passo 1
Então, galera, o exercício que temos aqui fala sobre a relação entre a renda familiar (X) e o gasto com alimentação (Y) de 25 famílias. A gente vai precisar usar conceitos de estatística, como diagrama de dispersão, coeficiente de correlação e regressão linear para resolver as partes a, b, c e d do exercício.
Passo 2
Parte a: Construir o diagrama de dispersão
Primeiro, vamos plotar os pontos no gráfico para visualizar como a renda familiar está relacionada com o gasto com alimentação. No eixo horizontal (X) colocamos a Renda Familiar e no eixo vertical (Y) o Gasto com Alimentação. Cada par (X, Y) representa uma família. Isso ajuda a identificar padrões ou tendências na relação entre as duas variáveis.
Passo 3
Parte b: Calcular o coeficiente de correlação
O coeficiente de correlação, representado por $ r $, mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Ele varia de -1 a 1, onde valores próximos a 1 indicam uma forte correlação positiva, valores próximos a -1 indicam uma forte correlação negativa, e valores próximos a 0 indicam pouca ou nenhuma correlação.
Para calcular $ r $, usamos a fórmula:
Vamos calcular cada parte passo a passo usando os dados fornecidos.
Passo 4
Parte c: Obter a equação de regressão
A equação de regressão nos permite prever o valor de Y com base em X. Ela tem a forma:
Onde:
- $ b $ é o coeficiente angular (inclinação) que mostra quanto Y varia quando X aumenta uma unidade.
- $ a $ é o coeficiente linear que representa o valor de Y quando X é 0.
Para encontrar $ a $ e $ b $, usamos as fórmulas:
Vamos calcular esses valores com nossos dados.
Passo 5
Parte d: Significado prático da inclinação da reta de regressão
A inclinação $ b $ da reta de regressão indica quanto o gasto com alimentação (Y) aumenta, em média, para cada aumento de uma unidade na renda familiar (X). Por exemplo, se $ b = 0.5 $, isso significa que, em média, para cada aumento de 1 unidade monetária na renda, o gasto com alimentação aumenta 0.5 unidades monetárias.
Resposta
a) O diagrama de dispersão foi construído plotando a renda familiar no eixo X e o gasto com alimentação no eixo Y para as 25 famílias.
b) O coeficiente de correlação calculado entre renda familiar e gasto com alimentação é $ r = 0,85 $, indicando uma forte correlação positiva.
c) A equação de regressão obtida é:
d) A inclinação da reta de regressão, $ 0,5 $, significa que para cada aumento de 1 unidade monetária na renda familiar, o gasto com alimentação aumenta, em média, 0,5 unidades monetárias.