Foi feito um estudo sobre a adição de sulfato de cálcio (CaSO4) à uréia e seu efeito no ganho de peso de novilhos tratados com cana. Os resultados obtidos foram os seguintes:
xi 0 5 10 15 20
yi 495 560 590 620 615
Onde X é a concentração de CaSO4 em g / Kg e Y o ganho de peso diário em gramas.
a) Faça um diagrama de dispersão para os dados.
b) Estime a equação de regressão que se ajusta aos dados.
c) d) Interprete a equação de regressão.
e) Calcule o coeficiente de correlação e interprete.
f) Encontre o coeficiente de determinação ( R^2 ) e interprete.
rX Y=sumi=1^n xi yi-sumi=1^n xi sumi=1^n yinraizsumi=1^n xi^2-(sumi=1^n xi)^2n cdot raizsumi=1^n yi^2-(sumi=1^n yi)^2n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um estudo que analisou como a adição de sulfato de cálcio ( CaSO4) à uréia afeta o ganho de peso diário de novilhos tratados com cana. Vamos precisar entender um pouco de estatística, especificamente sobre diagramas de dispersão, regressão linear e coeficientes de correlação e determinação. Vamos por partes!

Passo 2

a) Fazer um diagrama de dispersão para os dados
Um diagrama de dispersão ajuda a visualizar a relação entre duas variáveis. Aqui, temos a concentração de CaSO4 (em g/Kg) no eixo X e o ganho de peso diário (em gramas) no eixo Y.
Para criar o diagrama, plotamos cada par (xi, yi) no gráfico.
Aqui está como os pontos se organizam:
  • (0, 495)
  • (5, 560)
  • (10, 590)
  • (15, 620)
  • (20, 615)
Gráfico:
Como não posso desenhar aqui, imagina um gráfico com o eixo X de 0 a 20 e o eixo Y de 495 a 620, com os pontos mencionados plotados. Você verá uma tendência de aumento no ganho de peso até 15 g/Kg de CaSO4 e uma pequena queda depois.

Passo 3

b) Estimar a equação de regressão que se ajusta aos dados
A equação de regressão linear tem a forma:
Y = a + bX
Onde:
  • Y é o ganho de peso.
  • X é a concentração de CaSO4.
  • a é o intercepto.
  • b é o coeficiente angular (como Y muda com X).
Para encontrar a e b, usamos as fórmulas:
b = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2
a = sum yin - b sum xin
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular as somas necessárias:
    • sum xi = 0 + 5 + 10 + 15 + 20 = 50
    • sum yi = 495 + 560 + 590 + 620 + 615 = 2880
    • sum xi yi = (0)(495) + (5)(560) + (10)(590) + (15)(620) + (20)(615) = 0 + 2800 + 5900 + 9300 + 12300 = 30300
    • sum xi^2 = 0^2 + 5^2 + 10^2 + 15^2 + 20^2 = 0 + 25 + 100 + 225 + 400 = 750
    • n = 5
  2. Calcular b:
b = 5 times 30300 - 50 times 28805 times 750 - 50^2 = 151500 - 1440003750 - 2500 = 75001250 = 6
  1. Calcular a:
a = 28805 - 6 times 505 = 576 - 60 = 516
Então, a equação de regressão é:
Y = 516 + 6X

Passo 4

c) Interpretar a equação de regressão
A equação que encontramos é:
Y = 516 + 6X
Isso significa que, sem adicionar CaSO4 (quando X = 0), o ganho de peso diário médio dos novilhos é de 516 gramas. Além disso, para cada aumento de 1 g/Kg na concentração de CaSO4, o ganho de peso diário aumenta, em média, 6 gramas.

Passo 5

d) Calcular o coeficiente de correlação e interpretar
O coeficiente de correlação ( rXY) mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Vamos usar a fórmula:
rXY = sum xi yi - sum xi sum yinraizsum xi^2 - (sum xi)^2n cdot raizsum yi^2 - (sum yi)^2n
Vamos calcular as partes necessárias:
  1. Calcular sum yi^2:
495^2 + 560^2 + 590^2 + 620^2 + 615^2 = 245025 + 313600 + 348100 + 384400 + 378225 = 1665350
  1. Substituir na fórmula:
rXY = 30300 - 50 times 28805raiz750 - 50^25 cdot raiz1665350 - 2880^25 = 30300 - 28800raiz750 - 500 cdot raiz1665350 - 1651200 = 1500raiz250 cdot raiz14150 = 150015.81 times 118.95 approx 15001881.5 approx 0.798
Interpretação: O valor de rXY approx 0.798 indica uma forte correlação positiva entre a concentração de CaSO4 e o ganho de peso diário. Ou seja, conforme aumenta a concentração de CaSO4, tende a aumentar o ganho de peso dos novilhos.

Passo 6

e) Encontrar o coeficiente de determinação ( R^2) e interpretar
O coeficiente de determinação ( R^2) mostra a proporção da variação em Y que pode ser explicada pela variação em X. É calculado como:
R^2 = rXY^2
Usando o valor que encontramos:
R^2 = (0.798)^2 approx 0.637
Interpretação: Aproximadamente 63,7% da variação no ganho de peso diário dos novilhos pode ser explicada pela variação na concentração de CaSO4. Isso significa que nosso modelo de regressão captura uma boa parte da relação entre as duas variáveis, mas ainda há cerca de 36,3% da variação que pode ser influenciada por outros fatores.

Resposta

a) Foi elaborado um diagrama de dispersão mostrando uma tendência geral de aumento no ganho de peso com o aumento da concentração de CaSO4.
b) A equação de regressão estimada é Y = 516 + 6X.
c) Isso indica que sem CaSO4, o ganho de peso é 516g, e para cada 1 g/Kg adicional de CaSO4, o ganho de peso aumenta em 6g.
d) O coeficiente de correlação é aproximadamente 0,798, indicando uma forte correlação positiva entre as variáveis.
e) O coeficiente de determinação R^2 é cerca de 0,637, significando que 63,7% da variação no ganho de peso é explicada pela concentração de CaSO4.

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