Os dados a seguir foram coletados de um teste padrão de uma amostra de magnésio de 12 mm de diâmetro e comprimento inicial \left(l_{0}\right)=30,0 \mathrm{~mm} :
Carga (\mathrm{N}) \Delta \mathrm{I}(\mathrm{mm})
0 0,0000
5.000 0.0296
10.000 0.0592
15.000 0,0888
20.000 0,15
25.000 0,51
26.500 0,90
27.000 1,50
26.500 2.10
25.000 2.79
Após a fratura, o comprimento total era de 32,61 \mathrm{~mm} \mathrm{e} o diâmetro de 11,74 \mathrm{~mm}. Trace a curva de tensão-deformação de engenharia e calcule
a resistência ao escoamento para uma prédeformação de 0,2%;

Passo 1

O enunciado fornece dados de um ensaio de tração em uma barra de magnésio com diâmetro inicial d_{0}=12{,}0\:\mathrm{mm} e comprimento inicial l_{0}=30{,}0\:\mathrm{mm}. Temos pares carga P versus alongamento \Delta l, e ao final a peça fraturou com comprimento total 32{,}61\:\mathrm{mm} e diâmetro 11{,}74\:\mathrm{mm}. O que se pede é traçar a curva tensão–deformação de engenharia e obter a resistência ao escoamento à prova de 0,2 % (offset de 0{,}2\%). Para isso vamos:
  1. calcular a tensão de engenharia \sigma=P/A_{0} e a deformação de engenharia \varepsilon=\Delta l/l_{0};
  2. encontrar o módulo de Young a partir da região elástica (regressão linear nos primeiros pontos);
  3. traçar a reta de offset \sigma=E(\varepsilon-0{,}002) e achar seu ponto de interseção com a curva experimental;
  4. ler a tensão correspondente: é o R_{p0,2}.

Passo 2

Calcular a área inicial da seção reta
A_{0} = \frac{\pi d_{0}^{2}}{4} = \frac{\pi\,(12{,}0\:\mathrm{mm})^{2}}{4} =36\pi\:\mathrm{mm}^{2} \approx 113{,}10\:\mathrm{mm}^{2}.
Para cada par (P,\Delta l),
\sigma = \frac{P}{A_{0}},\quad \varepsilon = \frac{\Delta l}{l_{0}}.
Por exemplo, para P=5{,}000\:\mathrm{N}, \Delta l=0{,}0296\:\mathrm{mm}:
\sigma = \frac{5000}{113{,}10}=44{,}2\:\mathrm{MPa},\quad \varepsilon = \frac{0{,}0296}{30{,}0}=9{,}87\times10^{-4}.

Passo 3

Na região elástica (até cerca de P=20\,000\:\mathrm{N}), a tensão cresce linearmente com a deformação. Fazendo uma regressão linear nesses pontos, obtém‐se o módulo de Young:
E \approx 44{,}8\:\mathrm{GPa}.

Passo 4

Construir a reta de offset 0,2 %, paralela à reta elástica e deslocada de 0{,}002 em \varepsilon:
\sigma_{\rm offset}(\varepsilon) = E\,\bigl(\varepsilon - 0{,}002\bigr).

Passo 5

Para achar o ponto de interseção desta reta com a curva tensão–deformação experimental, interpolamos entre os pontos experimentais imediatamente pós‐escoamento (por exemplo, entre P=15\,000\:\mathrm{N} e P=20\,000\:\mathrm{N}). Seja \varepsilon_{1}=0{,}0888/30=2{,}96\times10^{-3}, \sigma_{1}=15\,000/113{,}10=132{,}6\:\mathrm{MPa}, \varepsilon_{2}=0{,}15/30=5{,}00\times10^{-3}, \sigma_{2}=20\,000/113{,}10=176{,}8\:\mathrm{MPa}.
A inclinação entre esses pontos é
m = \frac{\sigma_{2}-\sigma_{1}}{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}} = \frac{176{,}8 - 132{,}6}{5{,}00\times10^{-3} - 2{,}96\times10^{-3}} \approx 21{,}7\times10^{3}\:\mathrm{MPa}.
Na reta de curva experimental aproximada por esse segmento, \sigma_{\rm.curva}(\varepsilon) = \sigma_{1} + m\,(\varepsilon - \varepsilon_{1}).
Igualando à reta de offset,
E(\varepsilon - 0{,}002) = \sigma_{1} + m\,(\varepsilon - \varepsilon_{1}),
resolvemos para \varepsilon. Isso dá \varepsilon_{\rm y}\approx6{,}83\times10^{-3}.
A tensão de escoamento é então
R_{p0,2} = E\,(\varepsilon_{\rm y}-0{,}002) \approx 44{,}8\times10^{3}\times(6{,}83-2{,}00)\times10^{-3} \:\mathrm{MPa} \approx 216\:\mathrm{MPa}.

Resposta

A resistência ao escoamento por offset de 0,2\% é aproximadamente
R_{p0,2} \approx 216\:\mathrm{MPa}.

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