Os dados a seguir foram coletados de um teste padrão de uma amostra de magnésio de 12 mm de diâmetro e comprimento inicial \left(l_{0}\right)=30,0 \mathrm{~mm} :
Carga (\mathrm{N}) \Delta \mathrm{I}(\mathrm{mm})
0 0,0000
5.000 0.0296
10.000 0.0592
15.000 0,0888
20.000 0,15
25.000 0,51
26.500 0,90
27.000 1,50
26.500 2.10
25.000 2.79
Após a fratura, o comprimento total era de 32,61 \mathrm{~mm} \mathrm{e} o diâmetro de 11,74 \mathrm{~mm}. Trace a curva de tensão-deformação de engenharia e calcule
o módulo de elasticidade;

Passo 1

O enunciado fornece um ensaio de tração em uma barra de magnésio com diâmetro inicial d_{0}=12{,}0\\ \mathrm{mm} e comprimento inicial l_{0}=30{,}0\\ \mathrm{mm}. Foram medidos pares de carga F e alongamento \Delta l. Pede-se traçar a curva de tensão-deformação de engenharia e determinar o módulo de elasticidade E. Para isso vamos usar as definições de tensão de engenharia
\sigma = \frac{F}{A_{0}}
e deformação de engenharia
\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_{0}},
além de extrair o coeficiente linear na região elástica inicial.

Passo 2

Calculamos a área da seção transversal inicial como
A_{0} = \frac{\pi d_{0}^{2}}{4} = \frac{\pi\,(12{,}0\\ \mathrm{mm})^{2}}{4} = 36\pi\\ \mathrm{mm}^{2} \approx 113{,}10\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 3

Convertendo cada par (F,\Delta l) em (\sigma,\varepsilon), temos por exemplo:
\varepsilon_{1}=\frac{0{,}0296}{30{,}0}=9,867\times10^{-4},\quad \sigma_{1}=\frac{5000}{113{,}10}\approx44{,}2\\ \mathrm{MPa};
\varepsilon_{2}=\frac{0{,}0592}{30{,}0}=1,973\times10^{-3},\quad \sigma_{2}=\frac{10000}{113{,}10}\approx88{,}5\\ \mathrm{MPa};
\varepsilon_{3}=\frac{0{,}0888}{30{,}0}=2,960\times10^{-3},\quad \sigma_{3}=\frac{15000}{113{,}10}\approx132{,}8\\ \mathrm{MPa}.
Repetindo para todos os dados, obtém-se a curva \sigma versus \varepsilon.

Passo 4

Observando o gráfico, a parte inicial (até cerca de \varepsilon=0{,}003) é linear e corresponde ao comportamento elástico. Selecionamos os três primeiros pontos (\varepsilon_{i},\sigma_{i}) para um ajuste linear.

Passo 5

O módulo de elasticidade E é a razão \Delta\sigma/\Delta\varepsilon na região linear. Calculando para os pontos selecionados:
E \approx \frac{\sigma_{2}-\sigma_{1}}{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}} = \frac{88{,}5-44{,}2}{1,973\times10^{-3}-9,867\times10^{-4}} \approx4,49\times10^{4}\\ \mathrm{MPa}.
Verifica-se valor similar usando (\sigma_{3},\varepsilon_{3}).

Resposta

O módulo de elasticidade do magnésio no ensaio foi
E \approx 4,49\times10^{4}\\ \mathrm{MPa} \quad\bigl(\approx44,9\\ \mathrm{GPa}\bigr).

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