Os dados a seguir foram obtidos a partir da hidrólise de uma solução de homatropina (estrutura ao lado)
em HCl a
:
homatropina
remanescente
93,4
85,2
75,9
63,1
52,5
41,8
Tempo (h)
1,38
3,0
6,0
8,6
12
17
Foi observado que a hidrolise segue um mecanismo de primeira ordem. Determine: a) a constante de velocidade e b) o
para essa reação
|
93,4 | 85,2 | 75,9 | 63,1 | 52,5 | 41,8 | ||
| Tempo (h) | 1,38 | 3,0 | 6,0 | 8,6 | 12 | 17 |
Passo 1
O enunciado fornece os valores do percentual de homatropina remanescente em diferentes tempos durante a hidrólise, e afirma que a reação segue cinética de primeira ordem. As perguntas são:
a) Determinar a constante de velocidade .
b) Determinar o tempo de meia-vida .
a) Determinar a constante de velocidade
b) Determinar o tempo de meia-vida
Dados relevantes fornecidos:
Também foi dada a concentração inicial
, mas como temos percentuais, podemos trabalhar com frações relativas
sem usar explicitamente a concentração numérica.
Passo 2
Lei integrada da primeira ordem (explicação didática):
A equação diferencial da primeira ordem diz que a velocidade de consumo da espécie é proporcional à sua concentração:
A equação diferencial da primeira ordem diz que a velocidade de consumo da espécie
onde
é a concentração da espécie em função do tempo e
é a constante de velocidade (unidade:
, aqui h
).
Integrando essa equação, obtemos a forma integrada:
onde
é a concentração inicial e
é a concentração no tempo
. Essa fórmula significa que a razão
decresce exponencialmente com o tempo, e o gráfico de
versus
é uma reta de declive
.
Como o enunciado dá percentuais remanescentes, podemos usar
Para obter
a partir de um único ponto usamos:
Passo 3
Cálculo de
para cada ponto experimental (uso das frações obtidas dos percentuais). Vou calcular
e então
para cada par
.
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
Observação didática: cada
é uma estimativa a partir de um único ponto. Se os dados realmente seguem primeira ordem, esses
estarão próximos entre si. Aqui vemos valores entre cerca de
e
, o que é consistente.
Passo 4
Estimativa final de
: média aritmética das estimativas individuais (método simples e robusto quando não pediram ajuste por mínimos quadrados).
Usando os valores calculados:
Comentário: poderia também ajustar uma reta a
vs
por regressão linear (declive =
); a média das estimativas individuais dá um valor muito próximo ao obtido por regressão aqui, então é aceitável para prova.
Passo 5
Cálculo do tempo de meia-vida
para primeira ordem (fórmula e derivação curta):
Para primeira ordem, a meia-vida é independente da concentração inicial e é dada por
Para primeira ordem, a meia-vida é independente da concentração inicial e é dada por
Aqui
. Substituindo
:
Explicação intuitiva: meia-vida é o tempo necessário para a concentração cair a metade; na primeira ordem isso depende só de
.
Resposta
a)
b)
b)