1. Os dados a seguir provêm de um experimento para testar o desempenho de uma máquina industrial. O experimento utilizou uma mistura de óleo diesel e gás, derivados de materiais destilados orgânicos. O valor da capacidade da máquina em cavalo vapor (HP) foi coletado a diversas velocidades medidas em rotações por minuto (rpm \times 100 ).
X Y X Y X Y X Y
22,0 64,03 15,0 46,85 18,0 52,90 15,0 45,79
20,0 62,47 17,0 51,17 16,0 48,84 17,0 51,17
18,0 54,94 19,0 58,00 14,0 42,74 19,0 56,65
16,0 48,84 21,0 63,21 12,0 36,63 21,0 62,61
14,0 43,73 22,0 64,03 10,5 32,05 23,0 65,31
12,0 37,48 20,0 62,63 13,0 39,68 24,0 63,89
\mathrm{X}= velocidade Y = capacidade
a) Obter a equação ajustada e traçar seu gráfico;
b) Calcule e interprete o coeficiente de correlação.
c) Determine a estimativa de Y para X=15,5.

Passo 1

O enunciado fornece n=24 pares (X,Y) medidos em uma máquina industrial e pede (a) ajustar uma reta pelo método dos mínimos quadrados, (b) calcular e interpretar o coeficiente de correlação linear r e (c) estimar Y quando X=15,5.
Conteúdo necessário: fórmula de regressão \hat Y = a + bX com
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad a = \bar Y - b\,\bar X,
onde
S_{xx}=\sum X_i^2 - n\bar X^2, \quad S_{xy}=\sum X_iY_i - n\bar X\,\bar Y.

Passo 2

Calcular as somas auxiliares dos dados:
\sum X_i = 418{,}5,\quad \sum Y_i = 1255{,}64,\quad \sum X_i^2 = 7624{,}25,\quad \sum X_iY_i = 22761{,}025.
Daí
\bar X = \frac{418{,}5}{24} = 17{,}4375, \quad \bar Y = \frac{1255{,}64}{24} \approx 52{,}3183.
Em seguida
S_{xx} = 7624{,}25 - 24\cdot(17{,}4375)^2 \approx 326{,}6563,
S_{xy} = 22761{,}025 - 24\cdot17{,}4375\cdot52{,}3183 \approx 864{,}8025.
Logo a inclinação e o coeficiente linear são
b = \frac{864{,}8025}{326{,}6563} \approx 2{,}648, \quad a = 52{,}3183 - 2{,}648\cdot17{,}4375 \approx 6{,}144.
Portanto a reta ajustada é
\boxed{\hat Y = 6{,}144 + 2{,}648\,X.}
Num gráfico de dispersão, essa reta passa por (0,6,144) e tem inclinação 2,648, aproximando bem a nuvem de pontos.

Passo 3

Para avaliar a força da relação, calculamos
S_{yy} = \sum Y_i^2 - n\,\bar Y^2 \approx 2367{,}06,
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} \approx \frac{864{,}80}{\sqrt{326{,}66 \times 2367{,}06}} \approx 0{,}983.
Como \,r\approx 0{,}983, há correlação linear positiva muito forte entre X e Y.

Passo 4

Para X=15{,}5, a estimativa pela reta é
\hat Y(15{,}5) = 6{,}144 + 2{,}648\times15{,}5 \approx 6{,}144 + 41{,}044 = 47{,}188.

Resposta

(a) \displaystyle \hat Y = 6{,}144 + 2{,}648\,X.
(b) \displaystyle r \approx 0{,}983, indicando correlação linear positiva muito forte.
(c) \displaystyle \hat Y(15{,}5)\approx 47{,}19.

Exercícios relacionados