Os dados a seguir referem-se a uma linha de transmissão real de 500 kV . O comprimento desta linha de transmissão (LT) é de 320 km .
\begin{aligned} R_{1} & =0,01864 \Omega / \mathrm{km} \\\ L_{1} & =0,9888827 \mathrm{mH} / \mathrm{km} \\\ C_{1} & =0,0118673 \mu \mathrm{~F} / \mathrm{km} \end{aligned}
Considerar as seguintes condições operativas: U_{1}=550 \mathrm{kV} e U_{2}=500 kV .
Na condição acima, calcular os fluxos de potência ativa e reativa nos terminais transmissor e receptor, bem como o rendimento da transmissão.

Passo 1

O enunciado nos dá uma linha de transmissão de 500 kV com comprimento l=320\\ \mathrm{km} e parâmetros por quilômetro
R' = 0,01864\\ \Omega/\mathrm{km},\quad L' = 0,9888827\\ \mathrm{mH}/\mathrm{km},\quad C' = 0,0118673\\ \mu\mathrm{F}/\mathrm{km}.
As condições de operação são tensões de linha a-linha U_1=550\\ \mathrm{kV} no transmissor e U_2=500\\ \mathrm{kV} no receptor.
Conteúdo: modelo de linha longa em regime senoidal trifásico e uso das constantes ABCD para encontrar correntes e potências nos terminais.

Passo 2

Calcular as impedâncias e admitâncias por fase totais:
\omega = 2\pi\cdot 60\\ \mathrm{rad/s},
Z' = R' + j\omega L' = 0,01864 + j\,0,3729\\ \Omega/\mathrm{km},
Y' = j\omega C' = j\,4{,}474\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{km}.
Multiplicando pelo comprimento l=320\\ \mathrm{km}, obtém-se
Z = Z'\,l = (0,01864 + j\,0,3729)\cdot320 = 5,9648 + j\,119,33\\ \Omega,
Y = Y'\,l = j\,(4{,}474\times10^{-6})\cdot320 = j\,1{,}4317\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.

Passo 3

Para linha longa, definimos
\gamma = \sqrt{Z'\,Y'} \approx (3{,}15\times10^{-5} + j\,1{,}2916\times10^{-3})\\ \mathrm{per\,km} \quad\Longrightarrow\quad \gamma l = 0{,}0101 + j\,0{,}4133,
Z_c = \sqrt{\frac{Z'}{Y'}} \approx 289\angle -1{,}43^\circ\\ \Omega.
As constantes ABCD (por fase) são
A = D = \operatorname{cosh}(\gamma l) = 0{,}91518 + j\,0{,}00408,
B = Z_c\,\operatorname{sinh}(\gamma l) = 5{,}575 + j\,116{,}53\\ \Omega,
C = \frac{\operatorname{sinh}(\gamma l)}{Z_c} = -2{,}75\times10^{-6} + j\,1{,}397\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.

Passo 4

Passo para encontrar a corrente de carga (não há outra carga externa, a linha está em vazio) de modo que a tensão de envio seja U_1=550\\ \mathrm{kV}. Em valores fase:
V_2 = \frac{U_2}{\sqrt{3}} = \frac{500\times10^{3}}{1{,}732} = 288\,675\\ \mathrm{V}\quad(\angle 0^\circ),
V_1 = \frac{U_1}{\sqrt{3}} = 317\,837\\ \mathrm{V}\quad(\angle 0^\circ).
Da equação do receptor
V_1 = A\,V_2 + B\,I_2 \quad\Longrightarrow\quad I_2 = \frac{V_1 - A\,V_2}{B} = 456{,}1\\ \mathrm{A}\;\angle -88{,}54^\circ.

Passo 5

Corrente de entrada I_1 dada por
I_1 = C\,V_2 + D\,I_2 = ( -0{,}793 + j\,403{,}5 ) + (11{,}428 - j\,417{,}36) = 10{,}635 - j\,13{,}86\\ \mathrm{A} = 17{,}45\\ \mathrm{A}\;\angle -52{,}3^\circ.

Passo 6

Potências por fase nos terminais e trifásicas:
Receptor (perda e carga capacitiva da linha):
S_2^{(1\varphi)} = V_2\,I_2^* = 288\,675\angle 0^\circ \times 456{,}1\angle +88{,}54^\circ = 1{,}317\times10^{8}\angle88{,}54^\circ\\ \mathrm{VA},
P_2^{(1\varphi)} = 1{,}317\times10^{8}\cos88{,}54^\circ = 3{,}017\times10^{6}\\ \mathrm{W}, \quad Q_2^{(1\varphi)} = 1{,}317\times10^{8}\sin88{,}54^\circ = 1{,}316\times10^{8}\\ \mathrm{VAr}.
Trifásico:
P_2 = 3\,P_2^{(1\varphi)} = 9{,}051\\ \mathrm{MW}, \quad Q_2 = 3\,Q_2^{(1\varphi)} = 394{,}8\\ \mathrm{MVAr}.
Transmissor:
S_1^{(1\varphi)} = V_1\,I_1^* = 317\,837\angle0^\circ\times17{,}45\angle+52{,}3^\circ = 5{,}550\times10^{6}\angle52{,}3^\circ\\ \mathrm{VA},
P_1^{(1\varphi)} = 5{,}550\times10^{6}\cos52{,}3^\circ = 3{,}393\times10^{6}\\ \mathrm{W}, \quad Q_1^{(1\varphi)} = 5{,}550\times10^{6}\sin52{,}3^\circ = 4{,}387\times10^{6}\\ \mathrm{VAr}.
Trifásico:
P_1 = 3\,P_1^{(1\varphi)} = 10{,}18\\ \mathrm{MW}, \quad Q_1 = 3\,Q_1^{(1\varphi)} = 13{,}16\\ \mathrm{MVAr}.

Passo 7

Rendimento da transmissão:
\eta = \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{9{,}051}{10{,}18} = 0{,}889 = 88{,}9\%\,.

Resposta

Enviar (trifásico):
P_1 = 10{,}18\\ \mathrm{MW},\quad Q_1 = 13{,}16\\ \mathrm{MVAr}.
Receber (trifásico):
P_2 = 9{,}051\\ \mathrm{MW},\quad Q_2 = 394{,}8\\ \mathrm{MVAr}.
Rendimento: \eta = 88{,}9\%.

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