Os dados a seguir referem-se a uma linha de transmissão real de 500 kV . O comprimento desta LT é de 320 km .
\mathrm{R}_{1}=0,01864 \Omega / \mathrm{km} \quad \mathrm{L}_{1}=0,9888827 \mathrm{mH} / \mathrm{km} \quad \mathrm{C}_{1}=0,0118673 \mu \mathrm{F} / \mathrm{km}
Calcular:
  • Impedância de surto;
  • Impedância característica;
  • Velocidade de propagação;
  • Comprimento de onda;
  • Potência natural;
  • Constantes de quadripolo;
  • Reatores shunt; (manter as tensões dentro dos limites operativos na condição de LT em vazio)
  • Capacitores em série (Adotar uma taxa de compensação de 50 \% );
  • Constantes de quadripolo da linha totalmente compensada.

Passo 1

O enunciado fornece os parâmetros por quilômetro de uma linha de transmissão real de 500\\ \text{kV} e comprimento l=320\\ \text{km}:
R_1=0,01864\\ \Omega/\text{km},\quad L_1=0,9888827\\ \text{mH}/\text{km},\quad C_1=0,0118673\\ \mu\text{F}/\text{km}.
Vamos usar o modelo distribuído RL–G C, com G\approx0, para calcular:
– impedância de surto (impedância característica) \displaystyle Z_c,
– constante de propagação \displaystyle \gamma=\alpha+j\beta,
– velocidade de propagação v e comprimento de onda \lambda,
– potência natural (SIL),
– constantes de quadripolo A,B,C,D,
– reatores shunt para operação a vazio,
– capacitores série p/ 50 % de compensação,
– constantes de quadripolo da linha totalmente compensada.

Passo 2

Calcular o parâmetro série e o parámetro shunt por quilômetro a f=60\\ \text{Hz} ( \omega=2\pi\cdot60\\ \mathrm{rad/s}):
z_1 = R_1 + j\omega L_1 = 0,01864 + j\,(2\pi\cdot60)\,0{,}9888827\times10^{-3} \approx 0{,}01864 + j\,0{,}3736\\ \Omega/\mathrm{km},
y_1 = j\,\omega\,C_1 = j\,(2\pi\cdot60)\,11{,}8673\times10^{-9} \approx j\,4{,}475\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{km}.

Passo 3

Impedância característica (ou impedância de surto)
Z_c = \sqrt{\frac{z_1}{y_1}} = \sqrt{\frac{0{,}01864 + j0{,}3736}{j4{,}475\times10^{-6}}} \approx 289{,}3\,\angle(-1{,}43^\circ)\\ \Omega.
Magnitude \lvert Z_c\rvert\approx289{,}3\\ \Omega.

Passo 4

Constante de propagação
\gamma = \sqrt{\,z_1\,y_1\,} = \alpha + j\,\beta \quad\Longrightarrow\quad \alpha\approx2{,}95\times10^{-5}\\ \text{Np/km},\; \beta\approx1{,}292\times10^{-3}\\ \text{rad/km}.

Passo 5

Velocidade de propagação e comprimento de onda
v = \frac{\omega}{\beta} = \frac{2\pi\cdot60}{1{,}292\times10^{-3}} \approx2{,}919\times10^5\\ \mathrm{km/s},
\lambda = \frac{2\pi}{\beta} = \frac{2\pi}{1{,}292\times10^{-3}} \approx4{,}865\\ \times10^3\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Potência natural (SIL) por fase, usando V_{\text{ph}}=V_{\text{ll}}/\sqrt3=500\,\text{kV}/\sqrt3:
P_{\rm nat,ph} = \frac{V_{\rm ph}^2}{\lvert Z_c\rvert} = \frac{\bigl(500\times10^3/\sqrt3\bigr)^2}{289{,}3} \approx2{,}88\times10^8\\ \mathrm{W} \quad\Longrightarrow\quad P_{\rm nat,3\varphi}\approx864\\ \mathrm{MW}.

Passo 7

Constantes de quadripolo (por fase) da linha real:
A=D=\operatorname{cosh}(\gamma\,l), \quad B=Z_c\,\operatorname{sinh}(\gamma\,l), \quad C=\frac{\operatorname{sinh}(\gamma\,l)}{Z_c}.
Calculando \gamma l=0{,}00943 + j\,0{,}4133, obtém-se
A=D\approx0{,}9155 + j\,0{,}00380, \quad B\approx-0{,}404 + j\,116{,}39\\ \Omega, \quad C\approx-4{,}8\times10^{-6} + j\,1{,}3907\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.

Passo 8

Reatores shunt para compensar a corrente de carga a vazio. A susceptância total de carga é
B_{\rm carga}=y_1\,l=j\,1{,}432\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.
Distribuindo metade em cada extremidade (prática comum), cada reator deve ter
B_r = \frac{1{,}432\times10^{-3}}{2} =7{,}16\times10^{-4}\\ \mathrm{S}, \quad X_r = \frac{1}{B_r}\approx1{,}398\\ \mathrm{k}\Omega \quad\text{(por fase).}

Passo 9

Capacitores série para 50 % de compensação da reatância indutiva da linha:
reatância indutiva total
\;X_L=\omega L_1\,l=0{,}3736\times320\approx119{,}55\\ \Omega.
Metade: X_C=0{,}5\,X_L\approx59{,}78\,\Omega.
Logo
C_s = \frac{1}{\omega\,X_C} = \frac{1}{2\pi\cdot60\cdot59{,}78} \approx4{,}435\times10^{-5}\\ \mathrm{F} =44{,}35\\ \mu\mathrm{F} \quad\text{(por fase).}

Passo 10

Constantes de quadripolo da linha totalmente compensada (compensação série de 100 % faz a reatância distribuída líquida nula, sobrando só a resistência R_1).
Novo parâmetro série por km z_1'=R_1=0{,}01864\\ \Omega/\mathrm{km}, mesmo y_1.
Z_c'=\sqrt{\frac{z_1'}{y_1}} =\sqrt{\frac{0{,}01864}{j\,4{,}475\times10^{-6}}} \approx64{,}56\,\angle(-45^\circ)\\ \Omega,
\gamma'=\sqrt{\,z_1'\,y_1\,} \approx(0{,}000204 + j\,0{,}000204)\\ /\mathrm{km},
\gamma' l=0{,}09234 + j\,0{,}06528.
A'=D'=\operatorname{cosh}(\gamma'l)\approx1{,}00212 + j\,0{,}00603,
B'=Z_c'\,\operatorname{sinh}(\gamma'l)\approx0{,}865 - j\,0{,}865\\ \Omega,
C'=\frac{\operatorname{sinh}(\gamma'l)}{Z_c'}\approx0{,}000415 + j\,0{,}002443\\ \mathrm{S}.

Resposta

Impedância de surto \;Z_c\approx289{,}3\,\angle(-1{,}43^\circ)\\ \Omega.
Constante de propagação \;\alpha\approx2{,}95\times10^{-5}\\ \mathrm{Np/km},\;\beta\approx1{,}292\times10^{-3}\\ \mathrm{rad/km}.
Velocidade v\approx2{,}919\times10^5\\ \mathrm{km/s}, onda \lambda\approx4{,}865\times10^3\\ \mathrm{km}.
Potência natural P_{\rm nat,3\varphi}\approx864\\ \mathrm{MW}.
Quadripolo real:
A=D\approx0{,}9155+j\,0{,}00380,\\ B\approx-0{,}404+j\,116{,}39\\ \Omega,\\ C\approx-4{,}8\times10^{-6}+j\,1{,}3907\times10^{-3}\\ \mathrm{S}.
Reatores shunt em cada extremidade X_r\approx1{,}398\\ \mathrm{k}\Omega.
Capacitor série p/ 50 %: C_s\approx44{,}35\\ \mu\mathrm{F}.
Quadripolo totalmente compensado:
A'=D'\approx1{,}00212+j\,0{,}00603,\\ B'\approx0{,}865 - j\,0{,}865\\ \Omega,\\ C'\approx0{,}000415 + j\,0{,}002443\\ \mathrm{S}.

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