1. Os dados a seguir referem-se aos pesos, em kg, de uma amostra de 25 alunos.
64,4 55,2 55,8 68,3 57,6 63,6 58,8 61,0 62,3 58,0 63,8 64,0 57,0
65,3 67,8 65,3 78,0 76,8 74,7 72,8 70,9 70,8 69,0 68,8 54,0
a) Qual a variável sob análise;
b) Classifique a variável;
c) Calcule a variância;
d) Calcule o desvio padrão;
e) Calcule o coeficiente de variação;
f) Calcule o erro padrão da média.

Passo 1

O enunciado dá os pesos (em kg) de uma amostra de 25 alunos. Os valores são:
64{,}4,\;55{,}2,\;55{,}8,\;68{,}3,\;57{,}6,\;63{,}6,\;58{,}8,\;61{,}0,\;62{,}3,\;58{,}0,\;63{,}8,\;64{,}0,\;57{,}0,
65{,}3,\;67{,}8,\;65{,}3,\;78{,}0,\;76{,}8,\;74{,}7,\;72{,}8,\;70{,}9,\;70{,}8,\;69{,}0,\;68{,}8,\;54{,}0.
O enunciado pede:
a) qual é a variável sob análise;
b) classificar a variável;
c) calcular a variância;
d) calcular o desvio padrão;
e) calcular o coeficiente de variação;
f) calcular o erro padrão da média.

Passo 2

Vou começar calculando o tamanho da amostra e a média amostral. O tamanho é
n=25.
A média amostral \bar{x} é dada por
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Somando todos os pesos fornecidos obtém-se
\sum_{i=1}^{n} x_i = 1624{,}0\\ \text{kg}.
Então
\bar{x}=\dfrac{1624{,}0}{25}=64{,}96\\ \text{kg}.
Comentário didático: a média é o valor “central” obtido somando todos os dados e dividindo pelo número de observações. Aqui deu 64{,}96\\ \text{kg}.

Passo 3

Agora a variância. Como os dados são uma amostra da população, usamos a variância amostral (estimador imparcial), definida por
s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
onde x_i é cada observação, \bar{x} a média amostral e n-1 corrige o viés (explicação informal: dividir por n-1 em vez de n dá uma estimativa não viciada da variância da população).

Passo 4

Calcular \sum (x_i-\bar{x})^{2}. Para cada valor x_i calcula-se a diferença x_i-\bar{x} e eleva-se ao quadrado; somando esses quadrados obtemos
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=1117{,}02\\ \text{kg}^{2}.
(Resumo do procedimento: foram calculadas as 25 diferenças x_i-64{,}96 e seus quadrados; a soma desses quadrados deu 1117{,}02.)

Passo 5

Aplicando a fórmula da variância amostral:
s^{2}=\dfrac{1117{,}02}{n-1}=\dfrac{1117{,}02}{24}=46{,}5425\\ \text{kg}^{2}.
Arredondando com duas casas decimais, s^{2}\approx46{,}54\\ \text{kg}^{2}.

Passo 6

Desvio padrão amostral s é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{46{,}5425}\approx6{,}823\\ \text{kg}.
Comentário didático: o desvio padrão mede, em unidades originais (kg), a dispersão típica dos dados ao redor da média.

Passo 7

Coeficiente de variação ( CV) é a razão entre o desvio padrão e a média, normalmente expressa em porcentagem:
CV=\dfrac{s}{\bar{x}}\times100\%=\dfrac{6{,}823}{64{,}96}\times100\%\approx10{,}51\%.
Interpretação curta: CV padroniza a dispersão em relação à média; aqui é cerca de 10{,}5\%.

Passo 8

Erro padrão da média (ou erro padrão da estimativa de \bar{x}) é
SE_{\bar{x}}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}.
Como \sqrt{25}=5, temos
SE_{\bar{x}}=\dfrac{6{,}823}{5}\approx1{,}365\\ \text{kg}.
Explicação breve: o erro padrão indica a incerteza na estimativa da média amostral como estimador da média populacional; diminui com o aumento de n.

Passo 9

Resumo final dos valores calculados (já apresentados nos passos anteriores), e uma palavra de incentivo: ótimo trabalho chegando até aqui — agora saiba reconhecer e aplicar essas fórmulas na prova com calma!

Resposta

a) Peso dos alunos (em kg).
b) Variável quantitativa contínua (escala de razão).
c) s^{2}=46{,}5425\\ \text{kg}^{2} (aprox. 46{,}54\\ \text{kg}^{2}).
d) s\approx6{,}823\\ \text{kg}.
e) CV\approx10{,}51\%.
f) SE_{\bar{x}}\approx1{,}365\\ \text{kg}.

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