1. Os dados anteriores foram organizados na seguinte tabela de distribuição de frequências.
TABELA 1 - Peso, em kg, de estudantes. CAP/UFSJ, Ouro Branco, MG, 2025.
Peso (\mathrm{kg}) \mathrm{F}_{\mathrm{i}} \mathrm{Fr}_{\mathrm{i}} \mathrm{Fp}_{\mathrm{i}}(\%)
[51,0 ; 57,0) 3 0,12 12,0
[57,0 ; 63,0) 6 0,24 24,0
[63,0 ; 69,0) 9 0,36 36,0
[69,0 ; 75,0) 5 0,20 20,0
[75,0 ; 81,0) 2 0,08 8,0
Total 25 1,000 100,0
Fonte: Dados fictícios.
a) Com base na tabela 1 calcule a média;
b) Qual o novo valor da média se as seguintes operações forem feitas nos dados:
i) Soma-se 1,0 a cada dado;
ii) Multiplica-se por 1,1 a cada dado.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Calcular a média dos pesos usando a TABELA 1.
  • (b) Determinar a nova média se:
    i) somar 1,0 kg a cada dado;
    ii) multiplicar cada dado por 1,1.
Informações fornecidas (retiradas da tabela):
  • Classes e frequências absolutas F_i:
    • Classe [51,0 ; 57,0): F_1=3
    • Classe [57,0 ; 63,0): F_2=6
    • Classe [63,0 ; 69,0): F_3=9
    • Classe [69,0 ; 75,0): F_4=5
    • Classe [75,0 ; 81,0): F_5=2
  • Soma das frequências: N=\sum_i F_i=25.
  • Também fornecidas as frequências relativas Fr_i e percentuais Fp_i(\%), mas a informação central para a média é F_i e os valores representativos de cada classe.

Passo 2

Como os dados estão agrupados em classes, usamos os pontos médios (marcas de classe) como representativos dos valores na classe. A fórmula da média para dados agrupados é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} F_i x_i}{\sum_i F_i},
onde:
  • F_i é a frequência absoluta da i-ésima classe;
  • x_i é a marca (ponto médio) da i-ésima classe, calculada por x_i=\dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2};
  • N=\sum_i F_i é o total de observações.
Vou calcular as marcas x_i de cada classe:
x_1=\frac{51,0+57,0}{2}=54,0
x_2=\frac{57,0+63,0}{2}=60,0
x_3=\frac{63,0+69,0}{2}=66,0
x_4=\frac{69,0+75,0}{2}=72,0
x_5=\frac{75,0+81,0}{2}=78,0

Passo 3

Agora calculo os produtos F_i x_i e somo:
F_1 x_1 = 3\cdot 54,0 = 162,0
F_2 x_2 = 6\cdot 60,0 = 360,0
F_3 x_3 = 9\cdot 66,0 = 594,0
F_4 x_4 = 5\cdot 72,0 = 360,0
F_5 x_5 = 2\cdot 78,0 = 156,0
Soma das contribuições:
\sum_i F_i x_i = 162,0+360,0+594,0+360,0+156,0 = 1632,0

Passo 4

Calculo final da média usando a fórmula:
\bar{x}=\frac{\sum_i F_i x_i}{N}=\frac{1632,0}{25}=65,28.
Interpretação prática: a média dos pesos, estimada pelas marcas de classe, é 65,28 kg.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional mas didático): usando frequências relativas Fr_i vale também
\bar{x}=\sum_i Fr_i x_i.
Faço os produtos Fr_i x_i (peguei Fr_i da tabela):
0,12\cdot 54,0 = 6,48
0,24\cdot 60,0 = 14,40
0,36\cdot 66,0 = 23,76
0,20\cdot 72,0 = 14,40
0,08\cdot 78,0 = 6,24
Somando:
6,48+14,40+23,76+14,40+6,24 = 65,28,
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Agora resolvo a parte (b). Primeiro explico uma propriedade geral e simples (muito útil em prova):
  • Se a cada observação x se soma uma constante c, ou seja y=x+c, então a média transforma-se como
\bar{y}=\bar{x}+c.
  • Se a cada observação x se multiplica por uma constante a, ou seja y=a x, então
\bar{y}=a\,\bar{x}.
Prova curta (usando soma ponderada): se y_i=a x_i+b então
\bar{y}=\frac{\sum F_i y_i}{N}=\frac{\sum F_i (a x_i+b)}{N}=a\frac{\sum F_i x_i}{N}+b\frac{\sum F_i}{N}=a\bar{x}+b.
Os casos pedidos são instâncias com a=1,b=1 (soma de 1,0) e a=1,1,b=0 (multiplicar por 1,1).

Passo 7

Aplicando ao caso (b)(i): somar 1,0 kg a cada dado.
\bar{x}_{\text{novo}}=\bar{x}+1,0=65,28+1,0=66,28\\ \text{kg}.

Passo 8

Aplicando ao caso (b)(ii): multiplicar cada dado por 1,1.
\bar{x}_{\text{novo}}=1,1\cdot \bar{x}=1,1\cdot 65,28.
Faço a multiplicação:
1,1\cdot 65,28 = 65,28 + 6,528 = 71,808\\ \text{kg}.

Resposta

a) \bar{x}=65,28\\ \text{kg}
b-i) \bar{x}_{\text{novo}}=66,28\\ \text{kg}
b-ii) \bar{x}_{\text{novo}}=71,808\\ \text{kg}

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