3- Os dados a seguir sobre os tipos sanguíneos MN foram obtidos em povoados de nativos da América Central e da América do Norte:
Os dados a seguir sobre os tipos sanguíneos MN foram obtidos em povoados de nativos da América Central e da América do Norte:
Grupo Tamanho da amostra M MN N
América Central 86 53 29 4
América do Norte 278 78 61 139
a) Calcule as frequências dos alelos L_{m} e L_{n} nos dois grupos.
b) Indique as frequências genotípicas esperadas se as populações estão no equilíbrio de Hardy-Weinberg.
c) Use um teste qui-quadrado ( X^{2} tab =5,55 ) para comparar os números dos genótipos observados com o número esperado sob o equilíbrio de Hardy-Weinberg e responda, estas populações estão no equilíbrio de Hardy-Weinberg? Explique sua justificativa.

Passo 1

O enunciado dá os tamanhos das amostras e os números observados de genótipos nos dois grupos. Perguntas:
  • (a) Calcular as frequências dos alelos L_{m} e L_{n} em cada grupo.
  • (b) Indicar as frequências genotípicas esperadas sob equilíbrio de Hardy–Weinberg (HW).
  • (c) Usar o teste qui-quadrado (valor tabulado dado X^{2}_{\text{tab}}=5{,}55) para comparar observados e esperados e dizer se cada população está em equilíbrio HW.
Dados fornecidos:
  • América Central: tamanho n=86; M=53, MN=29, N=4.
  • América do Norte: tamanho n=278; M=78, MN=61, N=139.

Passo 2

Como calcular as frequências alélicas — aula rápida e regra prática (muito importante para a prova).
  • Denotar p a frequência do alelo L_{m} e q a frequência do alelo L_{n}. Por definição p+q=1.
  • A partir dos genótipos contados numa amostra, usa-se a fórmula:
p=\frac{2\cdot(\text{nº de }MM)+1\cdot(\text{nº de }MN)}{2n}, \qquad q=\frac{2\cdot(\text{nº de }NN)+1\cdot(\text{nº de }MN)}{2n}.ºººº
Explicação curta: cada indivíduo MM contribui com duas cópias de L_{m}, cada MN contribui com uma cópia de L_{m} e uma de L_{n}, e cada NN contribui com duas cópias de L_{n}. O denominador 2n é o número total de alelos na amostra.
Agora aplicar isso ao primeiro grupo (América Central).

Passo 3

Cálculo das frequências alélicas para América Central (aplicando a fórmula acima).
  • Numerador para p (alelo L_{m}): 2\cdot 53 + 29 = 106 + 29 = 135.
  • Denominador: 2n = 2\cdot 86 = 172.
p=\frac{135}{172}\approx 0{,}7849.
  • Logo
q=1-p=\frac{37}{172}\approx 0{,}2151.
Interpretação: aproximadamente 78{,}5\% dos alelos são L_{m} e 21{,}5\% são L_{n}.

Passo 4

Frequências genotípicas esperadas em equilíbrio HW — teoria e aplicação (América Central).
  • Teoria: em equilíbrio de Hardy–Weinberg, as frequências genotípicas esperadas são
\text{freq}(MM)=p^{2},\qquad \text{freq}(MN)=2pq,\qquad \text{freq}(NN)=q^{2},
onde p e q são as frequências alélicas definidas antes. Para obter contagens esperadas multiplica-se cada frequência por n.
  • Aplicando para América Central com p=\dfrac{135}{172} e q=\dfrac{37}{172}:
p^{2}\approx 0{,}6161,\qquad 2pq\approx 0{,}3376,\qquad q^{2}\approx 0{,}0463.
Contagens esperadas (multiplicando por n=86):
E(MM)=86\cdot 0{,}6161\approx 52{,}98, \quad E(MN)=86\cdot 0{,}3376\approx 29{,}03, \quad E(NN)=86\cdot 0{,}0463\approx 3{,}99.
Observação: estes esperados estão muito próximos dos observados 53,29,4, o que já sugere pouca diferença.

Passo 5

Teste qui-quadrado — fórmula e interpretação (aplicada à América Central).
  • Fórmula do qui-quadrado que vamos usar:
X^{2}=\sum_{i}\frac{(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}},
onde O_{i} são as contagens observadas e E_{i} as esperadas para cada classe genotípica.
  • Para América Central:
\begin{aligned} \frac{(53-52{,}98)^{2}}{52{,}98} &\approx 0{,}000007,\\\ \frac{(29-29{,}03)^{2}}{29{,}03} &\approx 0{,}00004,\\\ \frac{(4-3{,}99)^{2}}{3{,}99} &\approx 0{,}00006. \end{aligned}
Somando:
X^{2}_{\text{Central}}\approx 0{,}00012.
Comparação com o valor tabulado fornecido X^{2}_{\text{tab}}=5{,}55: como 0{,}00012 \ll 5{,}55, não há evidência para rejeitar o equilíbrio HW neste grupo. Portanto, América Central está compatível com HW.

Passo 6

Agora repetir para América do Norte: cálculo das frequências alélicas.
Aplicando a fórmula:
  • Numerador para p: 2\cdot 78 + 61 = 156 + 61 = 217.
  • Denominador: 2n = 2\cdot 278 = 556.
p=\frac{217}{556}\approx 0{,}3903, \qquad q=1-p=\frac{339}{556}\approx 0{,}6097.
Interpretação: cerca de 39{,}0\% dos alelos são L_{m} e 60{,}97\% são L_{n}.

Passo 7

Frequências genotípicas esperadas e contagens esperadas para América do Norte.
  • Frequências esperadas:
p^{2}\approx 0{,}1523,\qquad 2pq\approx 0{,}4761,\qquad q^{2}\approx 0{,}3716.
  • Contagens esperadas (multiplicando por n=278):
E(MM)=278\cdot 0{,}1523\approx 42{,}36, \quad E(MN)=278\cdot 0{,}4761\approx 132{,}41, \quad E(NN)=278\cdot 0{,}3716\approx 103{,}23.
Aqui os esperados 42{,}36,\;132{,}41,\;103{,}23 diferem bastante dos observados 78,\;61,\;139.

Passo 8

Cálculo do qui-quadrado para América do Norte e conclusão.
  • Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} \frac{(78-42{,}36)^{2}}{42{,}36} &\approx 29{,}98,\\\ \frac{(61-132{,}41)^{2}}{132{,}41} &\approx 38{,}51,\\\ \frac{(139-103{,}23)^{2}}{103{,}23} &\approx 12{,}39. \end{aligned}
Somando:
X^{2}_{\text{Norte}}\approx 29{,}98+38{,}51+12{,}39\approx 80{,}88.
Comparação com X^{2}_{\text{tab}}=5{,}55: como 80{,}88 \gg 5{,}55, rejeita-se a hipótese de equilíbrio HW para a população da América do Norte. Conclusão: a amostra da América do Norte não está em equilíbrio HW (diferença muito significativa entre observados e esperados).
Comentário final (rápido e motivador): a diferença na população norte-americana é grande — pode haver seleção, estratificação populacional, migração, amostragem não aleatória, erro de genotipagem etc. Mas para a questão da prova a decisão estatística já está clara.

Resposta

(a) América Central: p(L_{m})=\dfrac{135}{172}\approx 0{,}7849,\; q(L_{n})=\dfrac{37}{172}\approx 0{,}2151
América do Norte: p(L_{m})=\dfrac{217}{556}\approx 0{,}3903,\; q(L_{n})=\dfrac{339}{556}\approx 0{,}6097
(b) Esperados sob HW (frequências e contagens):
América Central: \text{freq}(MM)=p^{2}\approx 0{,}6161,\; \text{freq}(MN)=2pq\approx 0{,}3376,\; \text{freq}(NN)=q^{2}\approx 0{,}0463
Contagens esperadas: E(MM)\approx 52{,}98,\; E(MN)\approx 29{,}03,\; E(NN)\approx 3{,}99
América do Norte: \text{freq}(MM)=p^{2}\approx 0{,}1523,\; \text{freq}(MN)=2pq\approx 0{,}4761,\; \text{freq}(NN)=q^{2}\approx 0{,}3716
Contagens esperadas: E(MM)\approx 42{,}36,\; E(MN)\approx 132{,}41,\; E(NN)\approx 103{,}23
(c) Qui-quadrado e conclusão:
América Central: X^{2}\approx 0{,}00012 < 5{,}55 → não rejeita HW (compatível com equilíbrio).
América do Norte: X^{2}\approx 80{,}88 > 5{,}55 → rejeita HW (não está em equilíbrio).

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