Dados os três vetores \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{D}, mostre que \mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{D})=(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})+(\mathbf{A} \cdot \mathbf{D}).

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade distributiva do produto escalar em \mathbb{R}^3, ou seja,
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{D}) \;=\; (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})+(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}).
Vamos usar a definição do produto escalar em coordenadas e a distributividade da soma e da multiplicação em \mathbb{R}.

Passo 2

Escrevemos os vetores em coordenadas:
\mathbf{A} = (A_x,\,A_y,\,A_z),\quad \mathbf{B} = (B_x,\,B_y,\,B_z),\quad \mathbf{D} = (D_x,\,D_y,\,D_z).

Passo 3

Calculamos a soma \mathbf{B}+\mathbf{D} componente a componente:
\mathbf{B}+\mathbf{D} = (B_x+D_x,\;B_y+D_y,\;B_z+D_z).

Passo 4

Aplicamos a definição de produto escalar:
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{D}) = A_x\,(B_x+D_x) \;+\; A_y\,(B_y+D_y) \;+\; A_z\,(B_z+D_z).

Passo 5

Usamos a distributividade da multiplicação sobre a soma em \mathbb{R}:
A_x(B_x+D_x)=A_xB_x + A_xD_x,\quad A_y(B_y+D_y)=A_yB_y + A_yD_y,\quad A_z(B_z+D_z)=A_zB_z + A_zD_z.
Somando tudo,
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{D}) = (A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z)\;+\;(A_xD_x + A_yD_y + A_zD_z).

Passo 6

Reconhecemos as somas como produtos escalares:
A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z = \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}, \quad A_xD_x + A_yD_y + A_zD_z = \mathbf{A}\cdot\mathbf{D}.
Logo,
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{D}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) + (\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}).

Resposta

A igualdade fica demonstrada pela expansão e agrupamento das componentes, usando a distributividade em \mathbb{R}.

Exercícios relacionados