Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} quaisquer, demonstre e interprete geometricamente as seguintes propriedades:
|\|u\|-\|v\|| \leq\|u-v\|

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a desigualdade
\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|,
que é conhecida como desigualdade triangular inversa. Vamos usar a desigualdade triangular usual
\|a+b\|\le\|a\|+\|b\|
para escolher adequadamente os vetores a e b.

Passo 2

Escolhemos a=u-v e b=v. Então, aplicando a desigualdade triangular a
u = (u-v)+v
temos
\|u\|\;=\;\|(u-v)+v\|\;\le\;\|u-v\|+\|v\|.
Rearranjando, obtemos
\|u\|-\|v\|\le\|u-v\|.

Passo 3

Para a outra desigualdade, trocamos os papéis de u e v. Como
v=(v-u)+u
aplicamos a desigualdade triangular a a=v-u, b=u e obtemos
\|v\|\;-\;\|u\|\;\le\;\|v-u\|\;=\;\|u-v\|.

Passo 4

Agora temos duas desigualdades compatíveis:
\|u\|-\|v\|\le\|u-v\| \quad\text{e}\quad \|v\|-\|u\|\le\|u-v\|.
Elas equivalem a dizer
-\|u-v\|\le\|u\|-\|v\|\le\|u-v\|,
isto é,
\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|.

Passo 5

Interpretação geométrica: desenhe o triângulo de vértices O (origem), U (ponta do vetor u) e V (ponta do vetor v). A desigualdade afirma que a diferença entre os comprimentos OU=\|u\| e OV=\|v\| não pode ultrapassar o comprimento do lado UV=\|u-v\|.

Resposta

Demonstração completa da desigualdade
\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|.

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