Dados
quaisquer, demonstre e interprete geometricamente as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer vetores
, vale a desigualdade
Isso é conhecido como desigualdade triangular. Para provar, vamos usar as propriedades do produto interno (dot product) e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Recordando que, em
, o produto interno satisfaz
que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Também sabemos que
Expandindo, obtemos
Passo 3
Pelo fato de
, segue
Como ambos os lados são não negativos, ao extrairmos a raiz quadrada obtemos a desigualdade triangular:
Passo 4
Geometricamente, se representamos
e
como dois lados de um triângulo saindo da mesma origem, então
é o vetor que vai do início de
até o fim de
quando colocado em ponta de
. A desigualdade diz que o comprimento do lado “diagonal”
nunca excede a soma dos comprimentos dos outros dois lados
.