Dados \varphi=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)\right\} \subset M_{2 \times 2} e v=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ -2 & 1\end{array}\right) :
(a) Mostre que \varphi não é uma base de M_{2 \times 2}.
(b) O vetor v pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \varphi ?
(c) Complete \varphi para obter uma base \beta de M_{2 \times 2}. (A base \beta deve conter \varphi ).
(d) Determine \left.v\right|_{\beta}.
(e) Se \left.w\right|_{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right), ache w.

Passo 1

O enunciado trabalha em M_{2\times2}, espaço de dimensão 4, contendo o conjunto
\varphi=\{A,B,C\} com
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&4\end{pmatrix},
e o vetor
v=\begin{pmatrix}0&0\\\ -2&1\end{pmatrix}.
Vamos usar os conceitos de dimensão, combinação linear, independência e coordenadas em base para responder (a)–(e).

Passo 2

Para ser base de M_{2\times2}, um conjunto precisa gerar o espaço (span de dimensão 4) e ser formado por 4 vetores independentes. Como \varphi tem apenas 3 vetores, seu span pode ter dimensão no máximo 3, logo não abrange todo M_{2\times2}. Portanto \varphi não é base de M_{2\times2}.

Passo 3

Verificamos se existem \alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha A+\beta B+\gamma C =\begin{pmatrix}0&0\\\ -2&1\end{pmatrix}.
Escrevendo componente a componente (ordem (11),(12),(21),(22)) obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\\ \alpha+2\beta+\gamma=0,\\\ \alpha+3\beta+2\gamma=-2,\\\ \alpha+4\beta+4\gamma=1. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem \beta+\gamma=0\], mas da diferença entre a terceira e a segunda vem \(\beta+\gamma=-2. Contradição. Logo não há solução, e v não pertence a \mathrm{Span}(\varphi).

Passo 4

Para completar \varphi\) a uma base \(\beta\) de \(M_{2\times2}\), escolho \[D=E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Mostro que \{A,B,C,D\} é independente: se
\alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D=0, escreve-se o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+\delta=0,\\\ \alpha+2\beta+\gamma=0,\\\ \alpha+3\beta+2\gamma=0,\\\ \alpha+4\beta+4\gamma=0, \end{cases}
que leva a \alpha=\beta=\gamma=\delta=0\]. Assim \(\beta=\{A,B,C,D\} é base de M_{2\times2}.

Passo 5

Para achar as coordenadas de v\) em \(\beta\), resolvemos \[\alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D =\begin{pmatrix}0&0\\\ -2&1\end{pmatrix}.
O sistema é
\begin{cases} \alpha+\beta+\delta=0,\\\ \alpha+2\beta+\gamma=0,\\\ \alpha+3\beta+2\gamma=-2,\\\ \alpha+4\beta+4\gamma=1. \end{cases}
Da segunda e terceira equações vem \beta+\gamma=-2\] e da segunda vem \(\gamma=-\alpha-2\beta. Substituindo na última e na primeira obtemos
\beta=-7, \alpha=9, \gamma=5 e \delta=-2.
Logo
\bigl[v\bigr]_{\beta}=\begin{pmatrix}9\\\ -7\\\ 5\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 6

Seja \bigl[w\bigr]_{\beta}=(1,-1,-1,0)^T. Então
w=1\cdot A-1\cdot B-1\cdot C+0\cdot D =A-B-C.
Calculando
B+C=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&3\\\ 5&8\end{pmatrix},
w=A-(B+C) =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1&3\\\ 5&8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&-2\\\ -4&-7\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \varphi não é base de M_{2\times2} pois tem somente 3 vetores em espaço de dimensão 4.
(b) Não: não existem \alpha,\beta,\gamma com \alpha A+\beta B+\gamma C=v.
(c) Uma base é
\beta=\{A,B,C,D\} com
\displaystyle D=E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
(d)
\displaystyle[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}9\\\ -7\\\ 5\\\ -2\end{pmatrix}.
(e)
\displaystyle w=\begin{pmatrix}0&-2\\\ -4&-7\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados