Dados \varphi=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)\right\} \subset M_{2 \times 2} e v=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ -2 & 1\end{array}\right) :
(a) Mostre que \varphi não é uma base de M_{2 \times 2}.
(b) O vetor v pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \varphi ?
(c) Complete \varphi para obter uma base \beta de M_{2 \times 2}. (A base \beta deve conter \varphi ).
(d) Determine \left.v\right|_{\beta}.
(e) Se \left.w\right|_{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right), ache w.
Passo 1
O enunciado trabalha em M_{2\times2}, espaço de dimensão 4, contendo o conjunto \varphi=\{A,B,C\} com
Vamos usar os conceitos de dimensão, combinação linear, independência e coordenadas em base para responder (a)–(e).
Passo 2
Para ser base de M_{2\times2}, um conjunto precisa gerar o espaço (span de dimensão 4) e ser formado por 4 vetores independentes. Como \varphi tem apenas 3 vetores, seu span pode ter dimensão no máximo 3, logo não abrange todo M_{2\times2}. Portanto \varphi não é base de M_{2\times2}.
Passo 3
Verificamos se existem \alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha A+\beta B+\gamma C =\begin{pmatrix}0&0\\\ -2&1\end{pmatrix}.
Escrevendo componente a componente (ordem (11),(12),(21),(22)) obtemos o sistema
Das duas primeiras equações vem \beta+\gamma=0\], mas da diferença entre a terceira e a segunda vem \(\beta+\gamma=-2. Contradição. Logo não há solução, e v não pertence a \mathrm{Span}(\varphi).
Passo 4
Para completar \varphi\) a uma base \(\beta\) de \(M_{2\times2}\), escolho
\[D=E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Mostro que \{A,B,C,D\} é independente: se \alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D=0, escreve-se o sistema
(a) \varphi não é base de M_{2\times2} pois tem somente 3 vetores em espaço de dimensão 4.
(b) Não: não existem \alpha,\beta,\gamma com \alpha A+\beta B+\gamma C=v.
(c) Uma base é \beta=\{A,B,C,D\} com \displaystyle D=E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}9\\\ -7\\\ 5\\\ -2\end{pmatrix}.
(e) \displaystyle w=\begin{pmatrix}0&-2\\\ -4&-7\end{pmatrix}.