Queremos:
(a) mostrar que \varphi é base de P_{3},
(b) calcular as coordenadas de v=1-2t na base \varphi, i.e.\ [v]_{\varphi},
(c) encontrar o polinômio w cujas coordenadas em \varphi são (1,1,1,1)^{T}.
Passo 2
Para provar que \varphi\) é base de \(P_{3}\), basta ver que é um conjunto de \(4\) vetores em um espaço de dimensão \(4\) e que é linearmente independente. Suponha uma combinação que dê o polinômio zero:
\[a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{3}+d\,p_{4}=0.
Escrevendo em coeficientes de t^{3},t^{2},t,1, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b + 0\cdot c + d = 0,\\\ a + 2b + c + 2d = 0,\\\ a + 3b + 2c + 4d = 0,\\\ a + 4b + 4c + 4d = 0. \end{cases}
Subtraindo e eliminando, chega-se a a=b=c=d=0\]. Logo \(\varphi é linearmente independente e, como tem 4 vetores, é base de P_{3}.
Passo 3
Para achar [v]_{\varphi}\) com \(v=1-2t\), resolvemos
\[a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{3}+d\,p_{4}=1-2t.
(a) \varphi é base de P_{3} por ser conjunto de 4 vetores linearmente independentes num espaço de dimensão 4.
(b) [v]_{\varphi} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
(c) w=3t^{3}+6t^{2}+10t+13.