Dados v=1-2 t,\left.w\right|_{\varphi}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) e
\varphi=\left\{t^{3}+t^{2}+t+1, t^{3}+2 t^{2}+3 t+4, t^{2}+2 t+4, t^{3}+2 t^{2}+4 t+4\right\} \subseteq P_{3}
(a) Mostre que \varphi é uma base de P_{3}.
(b) Determine \left.w\right|_{\varphi}.
(c) Ache w.

Passo 1

O enunciado está em P_{3}, o espaço dos polinômios de grau \leq 3. Temos o conjunto
\varphi = \{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\}
com
p_{1}=t^{3}+t^{2}+t+1,\quad p_{2}=t^{3}+2t^{2}+3t+4,\quad p_{3}=t^{2}+2t+4,\quad p_{4}=t^{3}+2t^{2}+4t+4.
Queremos:
(a) mostrar que \varphi é base de P_{3},
(b) calcular as coordenadas de v=1-2t na base \varphi, i.e.\ [v]_{\varphi},
(c) encontrar o polinômio w cujas coordenadas em \varphi são (1,1,1,1)^{T}.

Passo 2

Para provar que \varphi\) é base de \(P_{3}\), basta ver que é um conjunto de \(4\) vetores em um espaço de dimensão \(4\) e que é linearmente independente. Suponha uma combinação que dê o polinômio zero: \[a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{3}+d\,p_{4}=0.
Escrevendo em coeficientes de t^{3},t^{2},t,1, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b + 0\cdot c + d = 0,\\\ a + 2b + c + 2d = 0,\\\ a + 3b + 2c + 4d = 0,\\\ a + 4b + 4c + 4d = 0. \end{cases}
Subtraindo e eliminando, chega-se a a=b=c=d=0\]. Logo \(\varphi é linearmente independente e, como tem 4 vetores, é base de P_{3}.

Passo 3

Para achar [v]_{\varphi}\) com \(v=1-2t\), resolvemos \[a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{3}+d\,p_{4}=1-2t.
Escrevendo coeficientes:
\begin{cases} a+b+d=0,\\\ a+2b+c+2d=0,\\\ a+3b+2c+4d=-2,\\\ a+4b+4c+4d=1. \end{cases}
Da primeira e segunda equações vem c=-b-d\] e \(a=-b-d. Substituindo na terceira obtém-se d=-2. Então b=1, c=1, a=1. Assim
[v]_{\varphi}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 4

Sabendo que [w]_{\varphi}=(1,1,1,1)^{T}, temos
w=1\cdot p_{1}+1\cdot p_{2}+1\cdot p_{3}+1\cdot p_{4}.
Somando termo a termo:
w=(t^{3}+t^{2}+t+1)+(t^{3}+2t^{2}+3t+4)+(t^{2}+2t+4)+(t^{3}+2t^{2}+4t+4).
Agrupando,
w=3t^{3}+6t^{2}+10t+13.

Resposta

(a) \varphi é base de P_{3} por ser conjunto de 4 vetores linearmente independentes num espaço de dimensão 4.
(b) [v]_{\varphi} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
(c) w=3t^{3}+6t^{2}+10t+13.

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