Dados os vectores A=(1,2,3,4,5) e B=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\right) de V_{5} achar os vectores
C e D que satisfaçam às três condições seguintes: C é paralelo a A, D é ortogonal a A, e B=C+D.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
A = (1,2,3,4,5), \quad B = \Bigl(1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\tfrac15\Bigr)
em V_5 e pede para escrever B como soma de dois vetores C e D tais que C seja paralelo a A e D seja ortogonal a A. Para isso, vamos usar a projeção de B sobre A.

Passo 2

Quando dizemos que C é paralelo a A, podemos escrever
C = \lambda\,A
para algum escalar \lambda. Como B = C + D, temos
D = B - C = B - \lambda A.
A condição de ortogonalidade A\perp D é
A \cdot D = 0 \quad\Longrightarrow\quad A\cdot(B - \lambda A)=0 \quad\Longrightarrow\quad A\cdot B \;-\;\lambda\,A\cdot A = 0.
Dessa igualdade extraímos
\lambda = \frac{A\cdot B}{A\cdot A}.

Passo 3

Vamos calcular os produtos escalares \,A\cdot B e \,A\cdot A.
A\cdot B = 1\cdot1 + 2\cdot\tfrac12 + 3\cdot\tfrac13 + 4\cdot\tfrac14 + 5\cdot\tfrac15 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5,
A\cdot A = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.

Passo 4

Substituindo no valor de \lambda, temos
\lambda = \frac{A\cdot B}{A\cdot A} = \frac{5}{55} = \frac{1}{11}.

Passo 5

Agora determinamos
C = \lambda\,A = \frac{1}{11}\,(1,2,3,4,5) = \Bigl(\tfrac{1}{11},\,\tfrac{2}{11},\,\tfrac{3}{11},\,\tfrac{4}{11},\,\tfrac{5}{11}\Bigr).

Passo 6

Finalmente,
D = B - C = \Bigl(1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\tfrac15\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{11},\tfrac{2}{11},\tfrac{3}{11},\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11}\Bigr)
\phantom{D} = \Bigl(1-\tfrac{1}{11},\; \tfrac12-\tfrac{2}{11},\; \tfrac13-\tfrac{3}{11},\; \tfrac14-\tfrac{4}{11},\; \tfrac15-\tfrac{5}{11}\Bigr)
\phantom{D} = \Bigl(\tfrac{10}{11},\;\tfrac{7}{22},\;\tfrac{2}{33},\;-\tfrac{5}{44},\;-\tfrac{14}{55}\Bigr).

Resposta

C = \Bigl(\tfrac{1}{11},\,\tfrac{2}{11},\,\tfrac{3}{11},\,\tfrac{4}{11},\,\tfrac{5}{11}\Bigr)
D = \Bigl(\tfrac{10}{11},\,\tfrac{7}{22},\,\tfrac{2}{33},\,-\tfrac{5}{44},\,-\tfrac{14}{55}\Bigr)

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