Um vector A de V_{n} tem comprimento 6 . Um vector B de V_{n} tem a propriedade de que, para todo o par de escalares x e y, os vectores x A+y B e 4 y A-9 x B são ortogonais. Calcular os comprimentos de B e de 2 A+3 B.

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores A,B\in V_n com \lVert A\rVert=6 e tal que, para quaisquer escalares x,y, os vetores
xA + yB \quad\text{e}\quad 4yA - 9xB
são ortogonais. O conteúdo aqui é produto interno e condição de ortogonalidade. Vamos usar
(u)\perp(v)\iff u\cdot v=0
para encontrar \lVert B\rVert e depois calcular \lVert2A+3B\rVert.

Passo 2

Escrevendo a ortogonalidade:
(xA + yB)\cdot(4yA - 9xB)=0.
Expandindo pelo distributivo do produto interno,
xA\cdot4yA \;+\; xA\cdot(-9xB)\;+\; yB\cdot4yA\;+\; yB\cdot(-9xB)=0.
Isso dá
4xy\,(A\cdot A)\;-\;9x^2\,(A\cdot B)\;+\;4y^2\,(B\cdot A)\;-\;9xy\,(B\cdot B)=0.

Passo 3

Como isso vale para todo x,y, os coeficientes dos monômios em x e y devem ser zero. Do termo em x^2:
-9\,(A\cdot B)=0 \quad\Rightarrow\quad A\cdot B=0.
Do termo em xy:
4\,(A\cdot A)\;-\;9\,(B\cdot B)=0 \quad\Rightarrow\quad 4\lVert A\rVert^2=9\lVert B\rVert^2.

Passo 4

Substituindo \lVert A\rVert=6 em 4\cdot6^2=9\lVert B\rVert^2, vem
4\cdot36=9\lVert B\rVert^2 \quad\Rightarrow\quad 144=9\lVert B\rVert^2 \quad\Rightarrow\quad \lVert B\rVert^2=16 \quad\Rightarrow\quad \lVert B\rVert=4.

Passo 5

Como A\perp B, para calcular \lVert2A+3B\rVert usamos
\lVert2A+3B\rVert^2 =(2A+3B)\cdot(2A+3B) =4\lVert A\rVert^2+12\,(A\cdot B)+9\lVert B\rVert^2.
Substituindo A\cdot B=0, \lVert A\rVert^2=36, \lVert B\rVert^2=16:
\lVert2A+3B\rVert^2 =4\cdot36+0+9\cdot16 =144+144 =288 \quad\Rightarrow\quad \lVert2A+3B\rVert=\sqrt{288}=12\sqrt{2}.

Resposta

\lVert B\rVert = 4 \lVert 2A+3B\rVert = 12\sqrt{2}

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