Dados os vértices consecutivos de um quadrilátero convexo A=(-3,1), B= (3,9), C=(7,6) e D=(-2,-6), determinar a ponto de interseção de suas diagonais.

Passo 1

O enunciado dá os vértices consecutivos de um quadrilátero convexo A=(-3,1), B=(3,9), C=(7,6) e D=(-2,-6) e pede o ponto de interseção das diagonais AC e BD. Vamos usar geometria analítica, escrevendo cada diagonal em forma paramétrica e igualando-as para achar o ponto comum.

Passo 2

Representamos a diagonal AC por
vec r1(t)=A+t,(C-A), tin[0,1],
e a diagonal BD por
vec r2(s)=B+s,(D-B), sin[0,1]
Como
C-A=(7-(-3),,6-1)=(10,5),
D-B=(-2-3,,-6-9)=(-5,-15),
temos as paramétricas
(x,y)=(-3,1)+t,(10,5),
(x,y)=(3,9)+s,(-5,-15)

Passo 3

Para achar a interseção, igualamos as duas fórmulas coordenada a coordenada, obtendo o sistema
-3+10t=3-5s,
1+5t=9-15s

Passo 4

Da primeira equação vem
10t+5s=6Longrightarrow 2t+s=1,2
e da segunda
5t+15s=8Longrightarrow t+3s=1,6
Multiplicando 2t+s=1,2 por 3 e subtraindo t+3s=1,6 achamos
5t=2Longrightarrow t=0,4
Substituindo em 2t+s=1,2 segue
s=1,2-2cdot0,4=0,4

Passo 5

Para t=0,4, a diagonal AC
(x,y)=(-3,1)+0,4,(10,5)=(-3+4,;1+2)=(1,3)
Como também B+0,4(D-B)=(1,3), confirmamos a interseção em (1,3).

Resposta

O ponto de interseção das diagonais é (1,3).

Exercícios relacionados