Dados os vetores
determinar
e
sabendo que
e que o vetor
forma ângulos iguais com os eixos coordenados Ox e Oy .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço:
O objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem duas condições:
- A norma (ou tamanho) do produto vetorial
. - O vetor resultante do produto vetorial forma ângulos iguais com os eixos Ox e Oy.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial, a norma de um vetor e como determinar os ângulos que um vetor faz com os eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial
:
Sabemos que essa norma deve ser igual a 1:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
A próxima condição é que o vetor
forma ângulos iguais com os eixos Ox e Oy. Isso significa que as componentes
e
desse vetor têm o mesmo módulo:
Vamos considerar inicialmente
.
Passo 5
Substituindo
na equação da norma:
Então,
.
Passo 6
Verificamos o caso
:
Substituindo
na equação da norma:
Então,
.
Resposta
Os valores possíveis são:
-
e -
e -
e -
e