Um vetor
do espaço forma os vetores
e
angulos de
e
, respectivamente. Determinar o vetor
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
no espaço que forma ângulos de
com o vetor
e
com o vetor
. Além disso, sabemos que a magnitude de
é 2. Nosso objetivo é determinar o vetor
, ou seja, encontrar suas componentes ao longo de
e
.
Para resolver isso, vamos usar trigonometria básica aplicada aos vetores. Precisaremos calcular as componentes de
nas direções de
e
usando as informações dos ângulos e da magnitude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a componente de um vetor em uma direção específica pode ser encontrada usando o cosseno do ângulo que ele forma com essa direção. A fórmula geral para a componente do vetor
na direção de um vetor unitário
é:
onde:
-
é a magnitude de , -
é o ângulo entre e .
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar a componente de
na direção de
. Sabemos que o ângulo entre
e
é
, e a magnitude de
é 2. Assim:
Sabendo que
, temos:
Então, a componente de
na direção de
é 1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a componente de
na direção de
. O ângulo entre
e
é
. Aplicando a mesma fórmula:
Sabemos que
, então:
Portanto, a componente de
na direção de
é -1.
Passo 5
Agora que temos as componentes de
nas direções de
e
, podemos escrever o vetor completo. Lembrando que um vetor no plano pode ser representado como a soma de suas componentes nas direções dos eixos coordenados, temos:
Resposta
O vetor
é igual a
.