Dados os vetores u(-5,3,4) e v(2,1, 3). Qual é o resultado do produto (3u + 2v).(2u - v)?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto escalar de duas combinações lineares de vetores. Trabalhamos com vetores no espaço tridimensional e vamos precisar usar operações de soma, multiplicação por escalar e o produto escalar (também conhecido como produto interno).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a combinação linear 3u + 2v. Isso significa que vamos multiplicar cada componente do vetor u por 3 e cada componente do vetor v por 2, e depois somar os resultados:
3u = 3 times (-5, 3, 4) = (-15, 9, 12)
2v = 2 times (2, 1, 3) = (4, 2, 6)
3u + 2v = (-15 + 4, 9 + 2, 12 + 6) = (-11, 11, 18)

Passo 3

Agora, vamos calcular a combinação linear 2u - v. Isso envolve multiplicar cada componente de u por 2 e cada componente de v por -1, e então somar:
2u = 2 times (-5, 3, 4) = (-10, 6, 8)
-v = -1 times (2, 1, 3) = (-2, -1, -3)
2u - v = (-10 - 2, 6 - 1, 8 - 3) = (-12, 5, 5)

Passo 4

Agora que temos os dois vetores resultantes das combinações lineares, vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
A = (-11, 11, 18) e B = (-12, 5, 5)
A cdot B = (-11)(-12) + (11)(5) + (18)(5)
A cdot B = 132 + 55 + 90 = 277

Resposta

O resultado do produto (3u + 2v) cdot (2u - v) é 277.

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