Dados os vetores \underline{v}=(1,3,-1) e \underline{w}=(a+1,2 a, 3), determine os valores de a de tal forma que os vetores sejam ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \underline{v}=(1,3,-1) e \underline{w}=(a+1,2a,3) e pede: encontrar os valores de a tais que os vetores sejam ortogonais.
Informações relevantes:
Componente x de \underline{v} é 1.
Componente y de \underline{v} é 3.
Componente z de \underline{v} é -1.
Componente x de \underline{w} é a+1 (peguei isso do enunciado).
Componente y de \underline{w} é 2a (peguei isso do enunciado).
Componente z de \underline{w} é 3 (peguei isso do enunciado).
O que é pedido: valor(es) de a que tornam \underline{v} e \underline{w} ortogonais.
Passo 2
Explicando o conceito necessário (passo didático): dois vetores são ortogonais quando formam um ângulo reto entre si. Em álgebra vetorial, isso equivale ao produto escalar (dot product) ser zero.
Definição e fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^3:
Se \underline{u}=(u_1,u_2,u_3) e \underline{z}=(z_1,z_2,z_3), então o produto escalar é
Aqui, u_1,u_2,u_3 são as componentes do vetor \underline{u} e z_1,z_2,z_3 são as componentes do vetor \underline{z}. Dois vetores são ortogonais se, e somente se,
\underline{u}\cdot\underline{z}=0.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado: calcular \underline{v}\cdot\underline{w} usando as componentes listadas no Passo 1.
As componentes: \underline{v}=(1,3,-1) e \underline{w}=(a+1,2a,3).
Desenvolvendo a soma do produto escalar (mostrando cada termo):
\underline{v}\cdot\underline{w}=(a+1)+6a-3.
Agora somando os termos semelhantes:
(a+1)+6a-3= a+6a +1-3 = 7a-2.
Passo 5
Condição de ortogonalidade: exigir que o produto escalar seja zero. Assim:
7a-2=0.
Resolver a equação linear para a. Isolando a:
7a=2 \quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{2}{7}.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): substituir a=\dfrac{2}{7} em \underline{w} e calcular o produto escalar para ver se realmente dá zero.
Com a=\dfrac{2}{7}, \underline{w}=\Bigl(a+1,\,2a,\,3\Bigr)=\Bigl(\dfrac{2}{7}+1,\,2\cdot\dfrac{2}{7},\,3\Bigr)=\Bigl(\dfrac{9}{7},\,\dfrac{4}{7},\,3\Bigr).