Dados os vetores \underline{u}=(3,3,2), \underline{v}=(5,-2,1) e \underline{w}=(1,-1,0)
(a) Determine os vetores \underline{u}-2 \underline{v}+3 \underline{w},-2 \underline{u}+\underline{v}-4 \underline{w}.
(b) Calcule a e b tais que \underline{u}=a \underline{v}+b \underline{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \underline{u}=(3,3,2), \underline{v}=(5,-2,1) e \underline{w}=(1,-1,0). Pede-se:
  • (a) Determinar os vetores \underline{u}-2\underline{v}+3\underline{w} e -2\underline{u}+\underline{v}-4\underline{w}.
  • (b) Calcular a e b tais que \underline{u}=a\underline{v}+b\underline{w}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • \underline{u}=(3,3,2).
  • \underline{v}=(5,-2,1).
  • \underline{w}=(1,-1,0).
  • A igualdade entre vetores significa igualdade componente a componente.

Passo 2

Lembrete rápido (como operar com vetores): multiplicação por escalar e soma subtração são feitas componente a componente. Se \underline{x}=(x_1,x_2,x_3) e \underline{y}=(y_1,y_2,y_3) e \lambda é escalar, então
\lambda\underline{x}=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3), \qquad \underline{x}+\underline{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3).
Vou aplicar isso passo a passo ao primeiro vetor pedido.
Calcular \underline{u}-2\underline{v}+3\underline{w}. Primeiro obtenho cada termo:
-2\underline{v}=(-2\cdot5,\,-2\cdot(-2),\,-2\cdot1)=(-10,4,-2),
3\underline{w}=(3\cdot1,\;3\cdot(-1),\;3\cdot0)=(3,-3,0).
Agora somo componente a componente com \underline{u}:
\underline{u}-2\underline{v}+3\underline{w}=(3,3,2)+(-10,4,-2)+(3,-3,0).
Faço as somas em cada componente:
  • primeira componente: 3+(-10)+3 = 3-10+3 = -4.
  • segunda componente: 3+4+(-3) = 3+4-3 = 4.
  • terceira componente: 2+(-2)+0 = 2-2+0 = 0.
    Portanto
\underline{u}-2\underline{v}+3\underline{w}=(-4,4,0).

Passo 3

Agora calculo -2\underline{u}+\underline{v}-4\underline{w}. Primeiro os termos separados:
-2\underline{u}=(-2\cdot3,\,-2\cdot3,\,-2\cdot2)=(-6,-6,-4),
-4\underline{w}=(-4\cdot1,\,-4\cdot(-1),\,-4\cdot0)=(-4,4,0),
e já tenho \underline{v}=(5,-2,1). Somo então:
-2\underline{u}+\underline{v}-4\underline{w}=(-6,-6,-4)+(5,-2,1)+(-4,4,0).
Faço as somas componente a componente:
  • primeira componente: -6+5+(-4) = -6+5-4 = -5.
  • segunda componente: -6+(-2)+4 = -6-2+4 = -4.
  • terceira componente: -4+1+0 = -3.
    Portanto
-2\underline{u}+\underline{v}-4\underline{w}=(-5,-4,-3).

Passo 4

Agora a parte (b): queremos a e b tais que \underline{u}=a\underline{v}+b\underline{w}. Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} 3 = 5a + 1b,\\[4pt] 3 = -2a -1b,\\[4pt] 2 = 1a + 0b. \end{cases}
Expliquei: cada equação vem de igualar a primeira, segunda e terceira componentes respectivamente.]

Passo 5

Resolvo o sistema de forma direta. A terceira equação dá imediatamente
a=2.
Substituo a=2 na primeira equação:
3 = 5\cdot 2 + b \quad\Rightarrow\quad 3 = 10 + b \quad\Rightarrow\quad b = 3-10 = -7.
Verifico na segunda equação para garantir consistência:
-2a - b = -2\cdot 2 - (-7) = -4 +7 = 3,
que coincide com o lado esquerdo igual a 3. Portanto a=2 e b=-7 satisfazem todas as componentes.

Passo 6

Verificação final (opcional, mas bom na prova): computar 2\underline{v}-7\underline{w} para conferir que dá (3,3,2):
2\underline{v}=(10,-4,2),\qquad -7\underline{w}=(-7,7,0),
2\underline{v}-7\underline{w}=(10-7,\,-4+7,\;2+0)=(3,3,2)=\underline{u}.
Confirma-se que os valores encontrados estão corretos.

Resposta

(a) \underline{u}-2\underline{v}+3\underline{w}=(-4,4,0)
-2\underline{u}+\underline{v}-4\underline{w}=(-5,-4,-3)
(b) a=2,\\ b=-7

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