Dados os vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}, encontre \vec{R} (Módulo, Direção e Sentido) e fça um esboço do resultado.
\vec{a} está na horizontal no setindo para a direita e \vec{b} faz um ângulo de 30^{0} em relação ao primeiro vetor, sendo a=\sqrt{2}, b=\frac{a}{2} e \vec{R}=\vec{a}+5 \vec{b}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}, \vec{b} e pede para encontrar \vec{R} (módulo, direção e sentido) e fazer um esboço, sabendo:
  • \vec{a} está sobre o eixo horizontal apontando para a direita.
  • \vec{b} forma um ângulo de 30^\circ em relação a \vec{a} (ou seja, 30^\circ acima do eixo positivo x).
  • a=\sqrt{2}.
  • b=\dfrac{a}{2}.
  • \vec{R}=\vec{a}+5\vec{b}.
As perguntas do enunciado são:
  1. Qual o módulo de \vec{R}?
  2. Qual a direção de \vec{R} (ângulo em relação ao eixo x)?
  3. Qual o sentido de \vec{R}?
  4. Fazer um esboço do resultado.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e representar vetores por componentes (essa é a forma mais direta para somar vetores). Vou colocar:
  • eixo x alinhado com \vec{a} (positiva para a direita),
  • eixo y para cima.
Explicação do método (bem didática): um vetor no plano pode ser escrito pelas suas componentes x e y. Se um vetor tem módulo m e faz ângulo \varphi com o eixo x, então suas componentes são
\text{componente }x = m\cos\varphi,\qquad \text{componente }y = m\sin\varphi.
Aqui vamos aplicar isso a \vec{a} e \vec{b}, e depois somar componentes para obter \vec{R}.

Passo 3

Representar \vec{a} por componentes:
\vec{a}=\langle a,\,0\rangle=\left\langle \sqrt{2},\,0\right\rangle.
Representar \vec{b}: o ângulo é 30^\circ e o módulo é b=\dfrac{a}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\vec{b}=\left\langle b\cos30^\circ,\; b\sin30^\circ\right\rangle.
Usando \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}, e b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
b\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}, \qquad b\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}.
Portanto
\vec{b}=\left\langle \dfrac{\sqrt{6}}{4},\; \dfrac{\sqrt{2}}{4}\right\rangle.

Passo 4

Calcular 5\vec{b} (multiplicar cada componente por 5):
5\vec{b}=\left\langle \dfrac{5\sqrt{6}}{4},\; \dfrac{5\sqrt{2}}{4}\right\rangle.
Agora somar \vec{a}+5\vec{b} componente a componente:
\vec{R}=\vec{a}+5\vec{b} =\left\langle \sqrt{2}+\dfrac{5\sqrt{6}}{4},\; 0+\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\right\rangle.
Para simplificar um pouco, fatoramos \dfrac{\sqrt{2}}{4} nas componentes:
\sqrt{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{4},\quad\text{logo}\quad R_x=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\bigl(4+5\sqrt{3}\bigr), \qquad R_y=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}.

Passo 5

Calcular o módulo |\vec{R}|. Fórmula do módulo em componentes:
|\vec{R}|=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
Usando a forma com fator comum \dfrac{\sqrt{2}}{4}:
|\vec{R}|^{2}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}\Bigl[(4+5\sqrt{3})^{2}+5^{2}\Bigr].
Calcular passo a passo:
\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}.
Expandir (4+5\sqrt{3})^{2}:
(4+5\sqrt{3})^{2}=16+40\sqrt{3}+25\cdot3=16+40\sqrt{3}+75=91+40\sqrt{3}.
Somando 5^{2}=25:
(4+5\sqrt{3})^{2}+25=91+40\sqrt{3}+25=116+40\sqrt{3}.
Portanto
|\vec{R}|^{2}=\dfrac{1}{8}\bigl(116+40\sqrt{3}\bigr).
Simplificando os termos:
|\vec{R}|^{2}=\dfrac{29}{2}+5\sqrt{3}.
Assim o módulo exato é
|\vec{R}|=\sqrt{\dfrac{29}{2}+5\sqrt{3}}.
Para ter uma ideia numérica (útil na prova para conferência):
\sqrt{3}\approx 1{,}732\quad\Rightarrow\quad |\vec{R}|^{2}\approx 14{,}5+8{,}660=23{,}16,
logo
|\vec{R}|\approx 4{,}81.

Passo 6

Calcular a direção (ângulo \theta que \vec{R} faz com o eixo x). Usar
\tan\theta=\dfrac{R_y}{R_x}.
Com as formas anteriores:
\tan\theta=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\bigl(4+5\sqrt{3}\bigr)} =\dfrac{5}{4+5\sqrt{3}}.
Portanto o ângulo exato é
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{5}{4+5\sqrt{3}}\right).
Cálculo numérico aproximado:
4+5\sqrt{3}\approx 4+8{,}660=12{,}660,\quad \dfrac{5}{12{,}660}\approx 0{,}3952,
\theta\approx \arctan(0{,}3952)\approx 21{,}6^\circ.
Sentido: como R_x>0 e R_y>0 (ambos positivos), \vec{R} aponta para a direita e para cima — ou seja, no 1.º quadrante, formando o ângulo \theta acima do eixo positivo x.

Passo 7

Esboço (como desenhar rapidamente no caderno):
  • Desenhar um eixo x horizontal e y vertical.
  • A partir da origem, desenhar \vec{a} para a direita com comprimento proporcional a a=\sqrt{2}.
  • Desenhar \vec{b} a partir da origem formando 30^\circ acima do eixo x com comprimento b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Desenhar o vetor 5\vec{b} a partir da origem na mesma direção de \vec{b} mas com 5 vezes o comprimento.
  • A soma \vec{R}=\vec{a}+5\vec{b} vai da origem até a extremidade do segmento obtido ao somar as componentes (ou seja, a ponta de \vec{a} deslocada por 5\vec{b}, ou equivalente a desenhar \vec{a} e em sua ponta desenhar 5\vec{b}; o segmento do início da \vec{a} até a ponta do segundo é \vec{R}). Marcar o ângulo \theta\approx 21{,}6^\circ entre \vec{R} e o eixo x.

Resposta

|\vec{R}|=\sqrt{\dfrac{29}{2}+5\sqrt{3}}\approx 4{,}81
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{5}{4+5\sqrt{3}}\right)\approx 21{,}6^\circ
Sentido: para a direita e para cima (1.º quadrante, formando \approx 21{,}6^\circ acima do eixo x).

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