Dados os vetores
e
, encontre
(Módulo, Direção e Sentido) e fça um esboço do resultado.
está na horizontal no setindo para a direita e
faz um ângulo de
em relação ao primeiro vetor, sendo
e
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e pede para encontrar
(módulo, direção e sentido) e fazer um esboço, sabendo:
-
está sobre o eixo horizontal apontando para a direita. -
forma um ângulo de em relação a (ou seja, acima do eixo positivo ). -
. -
. -
.
As perguntas do enunciado são:
- Qual o módulo de
? - Qual a direção de
(ângulo em relação ao eixo )? - Qual o sentido de
? - Fazer um esboço do resultado.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e representar vetores por componentes (essa é a forma mais direta para somar vetores). Vou colocar:
- eixo
alinhado com (positiva para a direita), - eixo
para cima.
Explicação do método (bem didática): um vetor no plano pode ser escrito pelas suas componentes
e
. Se um vetor tem módulo
e faz ângulo
com o eixo
, então suas componentes são
Aqui vamos aplicar isso a
e
, e depois somar componentes para obter
.
Passo 3
Representar
por componentes:
Representar
: o ângulo é
e o módulo é
. Assim
Usando
e
, e
, temos
Portanto
Passo 4
Calcular
(multiplicar cada componente por
):
Agora somar
componente a componente:
Para simplificar um pouco, fatoramos
nas componentes:
Passo 5
Calcular o módulo
. Fórmula do módulo em componentes:
Usando a forma com fator comum
:
Calcular passo a passo:
Expandir
:
Somando
:
Portanto
Simplificando os termos:
Assim o módulo exato é
Para ter uma ideia numérica (útil na prova para conferência):
logo
Passo 6
Calcular a direção (ângulo
que
faz com o eixo
). Usar
Com as formas anteriores:
Portanto o ângulo exato é
Cálculo numérico aproximado:
Sentido: como
e
(ambos positivos),
aponta para a direita e para cima — ou seja, no 1.º quadrante, formando o ângulo
acima do eixo positivo
.
Passo 7
Esboço (como desenhar rapidamente no caderno):
- Desenhar um eixo
horizontal e vertical. - A partir da origem, desenhar
para a direita com comprimento proporcional a . - Desenhar
a partir da origem formando acima do eixo com comprimento . - Desenhar o vetor
a partir da origem na mesma direção de mas com 5 vezes o comprimento. - A soma
vai da origem até a extremidade do segmento obtido ao somar as componentes (ou seja, a ponta de deslocada por , ou equivalente a desenhar e em sua ponta desenhar ; o segmento do início da até a ponta do segundo é ). Marcar o ângulo entre e o eixo .
Resposta
Sentido: para a direita e para cima (1.º quadrante, formando