Dados os vetores \vec{A}=4 \hat{x}+2 \hat{y}+\hat{z} \quad, \quad \vec{B}=\hat{y}+\hat{z}
a - Ache os vetores unitários segundo suas direções;
b - Calcule a componente de cada vetor na direção do outro;
c - Ache o produto escalar dos mesmos;
Os dois vetores determinam uma superfície plana na região do campo vetorial \vec{F}=\hat{x}+2 \hat{y}+3 \hat{z}.
d - Determine a área vetorial correspondente à superfície;
e - Ache o vetor unitário para tal área;
f - Calcule o fluxo de \vec{F} através da superfície;
Em cada caso realce a relação vetorial empregada na solução.

Passo 1

Dados fornecidos:
\vec{A}=4\hat{x}+2\hat{y}+\hat{z} e \vec{B}=\hat{y}+\hat{z}.
Perguntas do enunciado:
a) Ache os vetores unitários segundo suas direções.
b) Calcule a componente de cada vetor na direção do outro.
c) Ache o produto escalar dos mesmos.
d) Determine a área vetorial correspondente à superfície determinada por \vec{A} e \vec{B} (na região do campo \vec{F}=\hat{x}+2\hat{y}+3\hat{z}).
e) Ache o vetor unitário para tal área.
f) Calcule o fluxo de \vec{F} através da superfície.
Informações úteis extraídas do enunciado: coordenadas dos vetores em componentes cartesianas são \vec{A}=(4,2,1), \vec{B}=(0,1,1) e o campo \vec{F}=(1,2,3). A superfície mencionada é o paralelogramo gerado por \vec{A} e \vec{B}.

Passo 2

(a) Fórmulas e definição: o vetor unitário na direção de um vetor \vec{v} é dado por
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}
onde \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} é a norma (módulo) de \vec{v}. Aqui v_x,v_y,v_z são as componentes de \vec{v}.
Calcule \|\vec{A}\|:
\|\vec{A}\|=\sqrt{4^2+2^2+1^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.
Logo o vetor unitário na direção de \vec{A} é
\hat{A}=\frac{\vec{A}}{\|\vec{A}\|}=\left(\frac{4}{\sqrt{21}},\frac{2}{\sqrt{21}},\frac{1}{\sqrt{21}}\right)
ou, em notação vetorial,
\hat{A}=\frac{4}{\sqrt{21}}\hat{x}+\frac{2}{\sqrt{21}}\hat{y}+\frac{1}{\sqrt{21}}\hat{z}.
Calcule \|\vec{B}\|:
\|\vec{B}\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Logo o vetor unitário na direção de \vec{B} é
\hat{B}=\frac{\vec{B}}{\|\vec{B}\|}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
ou
\hat{B}=0\cdot\hat{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{y}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{z}.

Passo 3

(b) Definição e fórmulas: a componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v} (projeção escalar) é
\text{comp}_{\vec{v}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
e a projeção vetorial (componente vetorial) de \vec{u} sobre \vec{v} é
\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v}.
Aqui \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (explico e calculo no Passo 4).
Calcule o produto escalar necessário \vec{A}\cdot\vec{B} (vou calcular agora para usar aqui e no Passo 4):
\vec{A}\cdot\vec{B}=4\cdot 0 + 2\cdot 1 + 1\cdot 1 = 0+2+1=3.
Com isso, componente escalar de \vec{A} na direção de \vec{B}:
\text{comp}_{\vec{B}}(\vec{A})=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\|\vec{B}\|}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Projeção vetorial de \vec{A} sobre \vec{B}:
\text{proj}_{\vec{B}}(\vec{A})=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\|\vec{B}\|^2}\,\vec{B}=\frac{3}{2}\,\vec{B}=\frac{3}{2}(0,1,1)=(0,\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}).
Agora componente escalar de \vec{B} na direção de \vec{A}:
\text{comp}_{\vec{A}}(\vec{B})=\frac{\vec{B}\cdot\vec{A}}{\|\vec{A}\|}=\frac{3}{\sqrt{21}}.
Projeção vetorial de \vec{B} sobre \vec{A}:
\text{proj}_{\vec{A}}(\vec{B})=\frac{\vec{B}\cdot\vec{A}}{\|\vec{A}\|^2}\,\vec{A}=\frac{3}{21}\,\vec{A}=\frac{1}{7}\,\vec{A}=\left(\tfrac{4}{7},\tfrac{2}{7},\tfrac{1}{7}\right).

Passo 4

(c) Produto escalar: definição e interpretação. Para \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z),
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.
Também vale a relação geométrica \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores.
Aplicando às nossas componentes já calculadas:
\vec{A}\cdot\vec{B}=4\cdot 0 + 2\cdot 1 + 1\cdot 1 = 3.

Passo 5

(d) Área vetorial (vetor área) do paralelogramo gerado por \vec{A} e \vec{B}: a área vetorial é dada pelo produto vetorial
\vec{S}=\vec{A}\times\vec{B},
que produz um vetor perpendicular ao plano contendo \vec{A} e \vec{B} e cujo módulo é a área do paralelogramo. A fórmula por determinante para o produto vetorial é
\vec{A}\times\vec{B}= \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\[4pt] A_x & A_y & A_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Calculando com \vec{A}=(4,2,1) e \vec{B}=(0,1,1):
\vec{A}\times\vec{B}=\hat{x}(2\cdot1-1\cdot1)-\hat{y}(4\cdot1-1\cdot0)+\hat{z}(4\cdot1-2\cdot0).
Fazendo as operações:
\vec{A}\times\vec{B}=\hat{x}(2-1)-\hat{y}(4-0)+\hat{z}(4-0)=\hat{x}-4\hat{y}+4\hat{z}.
Portanto a área vetorial (vetor área) é
\vec{S}=\vec{A}\times\vec{B}=\hat{x}-4\hat{y}+4\hat{z}.
O módulo (área do paralelogramo) é
\|\vec{S}\|=\sqrt{1^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{1+16+16}=\sqrt{33}.]

Passo 6

(e) Vetor unitário para a área (vetor normal unitário): usar
\hat{n}=\frac{\vec{S}}{\|\vec{S}\|}=\frac{\vec{A}\times\vec{B}}{\|\vec{A}\times\vec{B}\|}.
Substituindo \vec{S}=(1,-4,4) e \|\vec{S}\|=\sqrt{33}:
\hat{n}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{33}},-\tfrac{4}{\sqrt{33}},\tfrac{4}{\sqrt{33}}\right).

Passo 7

(f) Fluxo do campo \vec{F} através da superfície (paralelogramo span \{\vec{A},\vec{B}\}): relação vetorial usada é
\Phi=\iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S}=\vec{F}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}),
quando S é o paralelogramo orientado gerado por \vec{A} e \vec{B} (isto é, o vetor área é \vec{A}\times\vec{B}). Essa fórmula vem do fato de que d\vec{S}=\hat{n}\,dS e a área total dS do paralelogramo é \|\vec{A}\times\vec{B}\|, resultando em \vec{F}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}).
Com \vec{F}=(1,2,3) e \vec{A}\times\vec{B}=(1,-4,4):
\Phi=\vec{F}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=1\cdot 1 + 2\cdot(-4) + 3\cdot 4 = 1-8+12=5.
Também se desejar ver pela interpretação \Phi = (\vec{F}\cdot\hat{n})\|\vec{A}\times\vec{B}\|: calculando \vec{F}\cdot\hat{n}=\dfrac{5}{\sqrt{33}} e multiplicando por \sqrt{33} obtemos novamente 5.

Resposta

a) \displaystyle \hat{A}=\frac{4}{\sqrt{21}}\hat{x}+\frac{2}{\sqrt{21}}\hat{y}+\frac{1}{\sqrt{21}}\hat{z} \
\displaystyle \hat{B}=0\cdot\hat{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{y}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{z}
b) \displaystyle \text{comp}_{\vec{B}}(\vec{A})=\frac{3}{\sqrt{2}},\quad \text{proj}_{\vec{B}}(\vec{A})=\left(0,\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right) \
\displaystyle \text{comp}_{\vec{A}}(\vec{B})=\frac{3}{\sqrt{21}},\quad \text{proj}_{\vec{A}}(\vec{B})=\left(\tfrac{4}{7},\tfrac{2}{7},\tfrac{1}{7}\right)
c) \displaystyle \vec{A}\cdot\vec{B}=3
d) \displaystyle \vec{A}\times\vec{B}=\hat{x}-4\hat{y}+4\hat{z} (módulo \sqrt{33})
e) \displaystyle \hat{n}=\frac{\vec{A}\times\vec{B}}{\|\vec{A}\times\vec{B}\|}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{33}},-\tfrac{4}{\sqrt{33}},\tfrac{4}{\sqrt{33}}\right)
f) \displaystyle \Phi=\vec{F}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=5

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