Dados os vetores \vec{A}=4 \hat{x}+2 \hat{y}+\hat{z} \quad, \quad \vec{B}=\hat{y}+\hat{z}
a - Ache os vetores unitários segundo suas direções;
b - Calcule a componente de cada vetor na direção do outro;
c - Ache o produto escalar dos mesmos;
Os dois vetores determinam uma superfície plana na região do campo vetorial \vec{F}=\hat{x}+2 \hat{y}+3 \hat{z}.
d - Determine a área vetorial correspondente à superfície;
e - Ache o vetor unitário para tal área;
f - Calcule o fluxo de \vec{F} através da superfície;
Em cada caso realce a relação vetorial empregada na solução.
Passo 1
Dados fornecidos: \vec{A}=4\hat{x}+2\hat{y}+\hat{z} e \vec{B}=\hat{y}+\hat{z}.
Perguntas do enunciado:
a) Ache os vetores unitários segundo suas direções.
b) Calcule a componente de cada vetor na direção do outro.
c) Ache o produto escalar dos mesmos.
d) Determine a área vetorial correspondente à superfície determinada por \vec{A} e \vec{B} (na região do campo \vec{F}=\hat{x}+2\hat{y}+3\hat{z}).
e) Ache o vetor unitário para tal área.
f) Calcule o fluxo de \vec{F} através da superfície.
Informações úteis extraídas do enunciado: coordenadas dos vetores em componentes cartesianas são \vec{A}=(4,2,1), \vec{B}=(0,1,1) e o campo \vec{F}=(1,2,3). A superfície mencionada é o paralelogramo gerado por \vec{A} e \vec{B}.
Passo 2
(a) Fórmulas e definição: o vetor unitário na direção de um vetor \vec{v} é dado por
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}
onde \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} é a norma (módulo) de \vec{v}. Aqui v_x,v_y,v_z são as componentes de \vec{v}.
(d) Área vetorial (vetor área) do paralelogramo gerado por \vec{A} e \vec{B}: a área vetorial é dada pelo produto vetorial
\vec{S}=\vec{A}\times\vec{B},
que produz um vetor perpendicular ao plano contendo \vec{A} e \vec{B} e cujo módulo é a área do paralelogramo. A fórmula por determinante para o produto vetorial é
quando S é o paralelogramo orientado gerado por \vec{A} e \vec{B} (isto é, o vetor área é \vec{A}\times\vec{B}). Essa fórmula vem do fato de que d\vec{S}=\hat{n}\,dS e a área total dS do paralelogramo é \|\vec{A}\times\vec{B}\|, resultando em \vec{F}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}).
Com \vec{F}=(1,2,3) e \vec{A}\times\vec{B}=(1,-4,4):
Também se desejar ver pela interpretação \Phi = (\vec{F}\cdot\hat{n})\|\vec{A}\times\vec{B}\|: calculando \vec{F}\cdot\hat{n}=\dfrac{5}{\sqrt{33}} e multiplicando por \sqrt{33} obtemos novamente 5.
Resposta
a) \displaystyle \hat{A}=\frac{4}{\sqrt{21}}\hat{x}+\frac{2}{\sqrt{21}}\hat{y}+\frac{1}{\sqrt{21}}\hat{z} \ \displaystyle \hat{B}=0\cdot\hat{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{y}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{z}
b) \displaystyle \text{comp}_{\vec{B}}(\vec{A})=\frac{3}{\sqrt{2}},\quad \text{proj}_{\vec{B}}(\vec{A})=\left(0,\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right) \ \displaystyle \text{comp}_{\vec{A}}(\vec{B})=\frac{3}{\sqrt{21}},\quad \text{proj}_{\vec{A}}(\vec{B})=\left(\tfrac{4}{7},\tfrac{2}{7},\tfrac{1}{7}\right)