Dados os vetores vec{a}=(2, m,-1) e vec{b}=(4,-2, n) em \mathbb{R}^{3}, determine os valores dos escalares m e n para que:
Os vetores \vec{a} e \vec{b} sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(2,m,-1) e \vec{b}=(4,-2,n) em \mathbb{R}^{3} e pede: determinar os valores dos escalares m e n para que os vetores \vec{a} e \vec{b} sejam paralelos.
Informações relevantes dadas:
  • Componente x de \vec{a} é 2.
  • Componente y de \vec{a} é m (incógnita).
  • Componente z de \vec{a} é -1.
  • Componente x de \vec{b} é 4.
  • Componente y de \vec{b} é -2.
  • Componente z de \vec{b} é n (incógnita).
  • O objetivo: encontrar \;m e \;n tais que \vec{a} e \vec{b} sejam paralelos.

Passo 2

Definição e escolha do método (sem cálculo ainda).
Do ponto de vista geométrico/algebraico, dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um escalar \lambda tal que
\vec{a}=\lambda\,\vec{b}
ou equivalentemente
\vec{b}=\mu\,\vec{a}.
Escolho usar a forma \vec{a}=\lambda\,\vec{b} porque é método direto e elementar: basta igualar componente a componente e resolver para \lambda,m,n.

Passo 3

Escrever as equações componente a componente a partir de \vec{a}=\lambda\,\vec{b}.
Se \vec{a}=\lambda\,\vec{b} então, comparando componentes,
2=\lambda\cdot 4,
m=\lambda\cdot (-2),
-1=\lambda\cdot n.
Essas três equações são as que vamos resolver.

Passo 4

Determinar o valor de \lambda a partir da primeira equação.
Da primeira equação:
2=\lambda\cdot 4 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
É importante calcular \lambda primeiro quando algumas componentes conhecidas permitem isso, para depois obter m e n facilmente.

Passo 5

Usar \lambda=\dfrac{1}{2} nas outras duas equações para achar m e n.
Da segunda equação:
m=\lambda\cdot (-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1.
Da terceira equação:
-1=\lambda\cdot n=\frac{1}{2}\,n \quad\Rightarrow\quad n=-1\cdot\frac{2}{1}=-2.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: com m=-1 e n=-2 temos
\vec{a}=(2,-1,-1),\qquad \vec{b}=(4,-2,-2).
De fato \vec{a}=\dfrac{1}{2}\vec{b}, logo são paralelos. Também poderia ver \vec{b}=2\vec{a}; ambas as formas confirmam a consistência.

Resposta

m=-1,\; n=-2

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